कैलकुलस उदाहरण

$y = \sin (x)$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

चरण 2.1.2

अंतिम उत्तर $\sin (x + h)$ है.

$\sin (x + h)$

चरण 2.2

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

चरण 4

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x + h) - (\sin (x))}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 4.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x + h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 4.1.2.1.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 4.1.2.1.3

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 4.1.2.1.4

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\sin (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 4.1.2.1.5

$\sin (x)$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\sin (x + lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 4.1.2.2

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (x + 0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 4.1.2.3

$\sin (x + 0) - \sin (x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 4.1.2.3.2

$\sin (x)$ में से $\sin (x)$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 4.1.3

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0}$

चरण 4.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 4.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x + h) - (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x + h) - (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $h$ के संबंध में $\sin (x + h) - (\sin (x))$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d h} [\sin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.3

$\frac{d}{d h} [\sin (x + h)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ $f' (g (h)) g' (h)$ है, जहाँ $f (h) = \sin (h)$ और $g (h) = x + h$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + h$ के रूप में सेट करें.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.3.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + h$ से बदलें.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.3.2

योग नियम के अनुसार, $h$ के संबंध में $x + h$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.3.3

चूंकि $h$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ $n h^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.3.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.3.6

$\cos (x + h)$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.4

चूंकि $h$ के संबंध में $- \sin (x)$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $- \sin (x)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.5

$\cos (x + h)$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.6

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h)}{1}$

चरण 4.4

$\cos (x + h)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} \cos (x + h)$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\cos (lim_{h \to 0} x + h)$

चरण 5.2

$\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)$

चरण 5.3

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\cos (x + lim_{h \to 0} h)$

चरण 6

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\cos (x + 0)$

चरण 7

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\cos (x)$

चरण 8