कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[1, 8]$

चरण 1

यदि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक वास्तविक संख्या $c$ मौजूद है जैसे कि $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . माध्य मान प्रमेय $x = c$ पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं $(a, f (a))$ और $(b, f (b))$ के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.

अगर $f (x)$ $[a, b]$ पर निरन्तर है

और यदि $f (x)$ $(a, b)$ पर अवकलनीय है,

तो $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ में कम से कम एक बिंदु $c$ मौजूद है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $[1, 8]$ पर निरंतर है या नहीं, $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

चरण 2.1.2

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2.2

$f (x)$ $[1, 8]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{2}{3}$ है.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

चरण 3.1.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

चरण 3.1.3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

चरण 3.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

चरण 3.1.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

चरण 3.1.5.2

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

चरण 3.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

चरण 3.1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.7.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

चरण 3.1.7.2

$\frac{2}{3}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

चरण 3.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ है.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

चरण 4

पता करें कि व्युत्पन्न $(1, 8)$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $(1, 8)$ पर निरंतर है या नहीं, $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

चरण 4.1.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

चरण 4.1.2

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

चरण 4.1.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

चरण 4.1.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 4.1.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.2.1.1

उत्पाद नियम को $3 x^{\frac{1}{3}}$ पर लागू करें.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 4.1.3.2.2.1.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 4.1.3.2.2.1.3

घातांक को ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.2.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 4.1.3.2.2.1.3.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.2.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 4.1.3.2.2.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$27 x^{1} = 0^{3}$

चरण 4.1.3.2.2.1.4

सरल करें.

$27 x = 0^{3}$

चरण 4.1.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$27 x = 0$

चरण 4.1.3.3

$27 x = 0$ के प्रत्येक पद को $27$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.3.1

$27 x = 0$ के प्रत्येक पद को $27$ से विभाजित करें.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

चरण 4.1.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.3.2.1

$27$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

चरण 4.1.3.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{27}$

चरण 4.1.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.3.3.1

$0$ को $27$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 4.1.4

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

चरण 4.2

$f' (x)$ $(1, 8)$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 5

फलन $(1, 8)$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $(1, 8)$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 6

$f (x)$ माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह $[1, 8]$ पर निरंतर है और $(1, 8)$ पर अवकलनीय है.

$f (x)$ , $[1, 8]$ पर निरंतर है और $(1, 8)$ पर अवकलनीय है.

चरण 7

अंतराल $[1, 8]$ से $f (a)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = {(1)}^{\frac{2}{3}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (1) = 1$

चरण 7.2.2

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 8

अंतराल $[1, 8]$ से $f (b)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $8$ से बदलें.

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (8) = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

चरण 8.2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

चरण 8.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

चरण 8.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (8) = 2^{2}$

चरण 8.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (8) = 4$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $4$ है.

$4$

चरण 9

$x$ के लिए $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ को हल करें. $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{4 - 1}{(8) - (1)}$

चरण 9.1.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{(8) - (1)}$

चरण 9.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{8 - 1}$

चरण 9.1.4

$8$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$

चरण 9.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 7$

चरण 9.2.2

चूँकि $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ में संख्याएँ और चर दोनों शामिल हैं, LCM को खोजने के लिए दो चरण हैं. संख्यात्मक भाग $3, 7$ के लिए LCM खोजें फिर चर भाग $x^{\frac{1}{3}}$ के लिए LCM पता करें.

चरण 9.2.3

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 9.2.4

चूंकि $3$ का $1$ और $3$ के अलावा कोई गुणनखंड नहीं है.

$3$ एक अभाज्य संख्या है

चरण 9.2.5

चूंकि $7$ का $1$ और $7$ के अलावा कोई गुणनखंड नहीं है.

$7$ एक अभाज्य संख्या है

चरण 9.2.6

$3, 7$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$3 \cdot 7$

चरण 9.2.7

$3$ को $7$ से गुणा करें.

$21$

चरण 9.2.8

$x^{\frac{1}{3}}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

$x^{\frac{1}{3}}$

चरण 9.2.9

$3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ के लिए LCM (लघुत्तम समापवर्तक) संख्यात्मक भाग $21$ को चर भाग से गुणा किया जाता है.

$21 x^{\frac{1}{3}}$

चरण 9.3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ के प्रत्येक पद को $21 x^{\frac{1}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ के प्रत्येक पद को $21 x^{\frac{1}{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (21 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 9.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$21 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 9.3.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.2.1

$21$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 9.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 9.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$7 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 9.3.2.3

$7$ और $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ को मिलाएं.

$\frac{7 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 9.3.2.4

$7$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 9.3.2.5

$x^{\frac{1}{3}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 9.3.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$14 = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 9.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1.1

$21 x^{\frac{1}{3}}$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

चरण 9.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

चरण 9.3.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$14 = 3 (3 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 9.3.3.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$14 = 9 x^{\frac{1}{3}}$

चरण 9.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

समीकरण को $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ के रूप में फिर से लिखें.

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$

चरण 9.4.2

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ के प्रत्येक पद को $9$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.2.1

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ के प्रत्येक पद को $9$ से विभाजित करें.

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

चरण 9.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

चरण 9.4.2.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{14}{9}$

चरण 9.4.3

बाईं ओर के भिन्नात्मक घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के प्रत्येक पक्ष को $3$ की घात तक बढ़ाएँ.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

चरण 9.4.4

घातांक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.4.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.4.1.1.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.4.1.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

चरण 9.4.4.1.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.4.1.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

चरण 9.4.4.1.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{1} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

चरण 9.4.4.1.1.2

सरल करें.

$x = {(\frac{14}{9})}^{3}$

चरण 9.4.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.4.2.1

${(\frac{14}{9})}^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.4.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{14}{9}$ पर लागू करें.

$x = \frac{14^{3}}{9^{3}}$

चरण 9.4.4.2.1.2

$14$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2744}{9^{3}}$

चरण 9.4.4.2.1.3

$9$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2744}{729}$

चरण 10

अंत बिंदुओं $a = 1$ और $b = 8$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = \frac{2744}{729}$ पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.

अंतिम बिंदुओं $a = 1$ और $b = 8$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = \frac{2744}{729}$ पर एक स्पर्शरेखा है.

चरण 11