कैलकुलस उदाहरण

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{7}$ और $g (x) = x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 2$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.2.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.2.6

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7 x$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.3.2

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.3.3

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

चरण 1.1.4.2

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

चरण 1.2

$h (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ है.

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

चरण 2.2

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.2.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.2.3

$4$ को $15$ से गुणा करें.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.2.4

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.2.5

$8$ को $20$ से गुणा करें.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.2.6

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.2.7

$16$ को $15$ से गुणा करें.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.2.8

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.2.9

$32$ को $6$ से गुणा करें.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.2.10

$2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

चरण 2.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

चरण 2.2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.4.1

$12$ को $7$ से गुणा करें.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

चरण 2.2.1.4.2

$60$ को $7$ से गुणा करें.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

चरण 2.2.1.4.3

$160$ को $7$ से गुणा करें.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

चरण 2.2.1.4.4

$240$ को $7$ से गुणा करें.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

चरण 2.2.1.4.5

$192$ को $7$ से गुणा करें.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

चरण 2.2.1.4.6

$7$ को $64$ से गुणा करें.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

चरण 2.2.2

$448$ में से $7$ घटाएं.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

चरण 2.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x = - 3, - 1$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- 3, - 1$ हैं.

$- 3, - 1$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 3)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 4$ और $2$ जोड़ें.

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

चरण 5.2.1.2

$- 2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

चरण 5.2.1.3

$7$ को $64$ से गुणा करें.

$h' (- 4) = 448 - 7$

चरण 5.2.2

$448$ में से $7$ घटाएं.

$h' (- 4) = 441$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $441$ है.

$441$

चरण 5.3

$x = - 4$ पर व्युत्पन्न $441$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 3)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$h' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 3)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 3, - 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

चरण 6.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

चरण 6.2.1.3

$7$ को $0$ से गुणा करें.

$h' (- 2) = 0 - 7$

चरण 6.2.2

$0$ में से $7$ घटाएं.

$h' (- 2) = - 7$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 7$ है.

$- 7$

चरण 6.3

$x = - 2$ पर व्युत्पन्न $- 7$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 3, - 1)$ पर फलन कम हो रहा है.

$h' (x) < 0$ से $(- 3, - 1)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 1, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0$ और $2$ जोड़ें.

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

चरण 7.2.1.2

$2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

चरण 7.2.1.3

$7$ को $64$ से गुणा करें.

$h' (0) = 448 - 7$

चरण 7.2.2

$448$ में से $7$ घटाएं.

$h' (0) = 441$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $441$ है.

$441$

चरण 7.3

$x = 0$ पर व्युत्पन्न $441$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 1, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$h' (x) > 0$ के बाद से $(- 1, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- 3, - 1)$

चरण 9