कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 1$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 0$

चरण 1.1.3.2

$4 x^{3} + 6 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $4 x^{3} + 6 x^{2}$ है.

$4 x^{3} + 6 x^{2}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

चरण 2.2

$4 x^{3} + 6 x^{2}$ में से $2 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4 x^{3}$ में से $2 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} = 0$

चरण 2.2.2

$6 x^{2}$ में से $2 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3) = 0$

चरण 2.2.3

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3)$ में से $2 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 x^{2} (2 x + 3) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

चरण 2.4

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.4.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 2.4.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.5

$2 x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2 x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x + 3 = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $2 x + 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$2 x = - 3$

चरण 2.5.2.2

$2 x = - 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1

$2 x = - 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

चरण 2.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

चरण 2.5.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 3}{2}$

चरण 2.5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{3}{2}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 x^{2} (2 x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 1$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 + 2 {(0)}^{3} - 1$

चरण 4.1.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 + 2 \cdot 0 - 1$

चरण 4.1.2.1.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0 - 1$

चरण 4.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 - 1$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1$

चरण 4.2

$x = - \frac{3}{2}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- \frac{3}{2}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(- \frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{3}{2}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

चरण 4.2.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

चरण 4.2.2.1.2

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

चरण 4.2.2.1.3

$\frac{3^{4}}{2^{4}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

चरण 4.2.2.1.4

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{81}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

चरण 4.2.2.1.5

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{81}{16} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

चरण 4.2.2.1.6

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.6.1

उत्पाद नियम को $- \frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 1$

चरण 4.2.2.1.6.2

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

चरण 4.2.2.1.7

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

चरण 4.2.2.1.8

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 1$

चरण 4.2.2.1.9

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{8}) - 1$

चरण 4.2.2.1.10

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.10.1

$- \frac{27}{8}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{81}{16} + 2 (\frac{- 27}{8}) - 1$

चरण 4.2.2.1.10.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 (4)} - 1$

चरण 4.2.2.1.10.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 \cdot 4} - 1$

चरण 4.2.2.1.10.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{81}{16} + \frac{- 27}{4} - 1$

चरण 4.2.2.1.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} - 1$

चरण 4.2.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$\frac{27}{4}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{81}{16} - (\frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}) - 1$

चरण 4.2.2.2.2

$\frac{27}{4}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} - 1$

चरण 4.2.2.2.3

$- 1$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1}$

चरण 4.2.2.2.4

$\frac{- 1}{1}$ को $\frac{16}{16}$ से गुणा करें.

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

चरण 4.2.2.2.5

$\frac{- 1}{1}$ को $\frac{16}{16}$ से गुणा करें.

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

चरण 4.2.2.2.6

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

चरण 4.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{81 - 27 \cdot 4 - 1 \cdot 16}{16}$

चरण 4.2.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.4.1

$- 27$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{81 - 108 - 1 \cdot 16}{16}$

चरण 4.2.2.4.2

$- 1$ को $16$ से गुणा करें.

$\frac{81 - 108 - 16}{16}$

चरण 4.2.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.5.1

$81$ में से $108$ घटाएं.

$\frac{- 27 - 16}{16}$

चरण 4.2.2.5.2

$- 27$ में से $16$ घटाएं.

$\frac{- 43}{16}$

चरण 4.2.2.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{43}{16}$

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, - 1), (- \frac{3}{2}, - \frac{43}{16})$

चरण 5