कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $- 5$ से गुणा करें.

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 20$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 20 x$ का व्युत्पन्न $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.3.3

$- 20$ को $1$ से गुणा करें.

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + 0$

चरण 1.1.4.2

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ है.

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$

चरण 2.2

समीकरण में $u = x^{2}$ प्रतिस्थापित करें. इससे द्विघात सूत्र का उपयोग करना आसान हो जाएगा.

$5 u^{2} - 15 u - 20 = 0$

$u = x^{2}$

चरण 2.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$5 u^{2} - 15 u - 20$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$5 u^{2}$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$5 (u^{2}) - 15 u - 20 = 0$

चरण 2.3.1.2

$- 15 u$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$5 (u^{2}) + 5 (- 3 u) - 20 = 0$

चरण 2.3.1.3

$- 20$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$5 u^{2} + 5 (- 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

चरण 2.3.1.4

$5 u^{2} + 5 (- 3 u)$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

चरण 2.3.1.5

$5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$5 (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

चरण 2.3.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 3 u - 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 4$ है और जिसका योग $- 3$ है.

$- 4, 1$

चरण 2.3.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$5 ((u - 4) (u + 1)) = 0$

चरण 2.3.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$5 (u - 4) (u + 1) = 0$

चरण 2.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

चरण 2.5

$u - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$u - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 4 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$u = 4$

चरण 2.6

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $5 (u - 4) (u + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = 4, - 1$

चरण 2.8

हल किए गए समीकरण में $u = x^{2}$ के वास्तविक मान को वापस प्रतिस्थापित करें.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

चरण 2.9

$x$ के लिए पहला समीकरण हल करें.

$x^{2} = 4$

चरण 2.10

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{4}$

चरण 2.10.2

$\pm \sqrt{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

चरण 2.10.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 2$

चरण 2.10.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2$

चरण 2.10.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2$

चरण 2.10.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2, - 2$

चरण 2.11

$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दूसरा समीकरण हल करें.

${(x^{2})}^{1} = - 1$

चरण 2.12

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1

कोष्ठक हटा दें.

$x^{2} = - 1$

चरण 2.12.2

$x = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 2.12.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i$

चरण 2.12.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i$

चरण 2.12.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i$

चरण 2.12.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i, - i$

चरण 2.13

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ का हल $x = 2, - 2, i, - i$ है.

$x = 2, - 2, i, - i$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(2)}^{5} - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$32 - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

चरण 4.1.2.1.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$32 - 5 \cdot 8 - 20 \cdot 2 - 2$

चरण 4.1.2.1.3

$- 5$ को $8$ से गुणा करें.

$32 - 40 - 20 \cdot 2 - 2$

चरण 4.1.2.1.4

$- 20$ को $2$ से गुणा करें.

$32 - 40 - 40 - 2$

चरण 4.1.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$32$ में से $40$ घटाएं.

$- 8 - 40 - 2$

चरण 4.1.2.2.2

$- 8$ में से $40$ घटाएं.

$- 48 - 2$

चरण 4.1.2.2.3

$- 48$ में से $2$ घटाएं.

$- 50$

चरण 4.2

$x = - 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(- 2)}^{5} - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$- 2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 32 - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

चरण 4.2.2.1.2

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 32 - 5 \cdot - 8 - 20 \cdot - 2 - 2$

चरण 4.2.2.1.3

$- 5$ को $- 8$ से गुणा करें.

$- 32 + 40 - 20 \cdot - 2 - 2$

चरण 4.2.2.1.4

$- 20$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 32 + 40 + 40 - 2$

चरण 4.2.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$- 32$ और $40$ जोड़ें.

$8 + 40 - 2$

चरण 4.2.2.2.2

$8$ और $40$ जोड़ें.

$48 - 2$

चरण 4.2.2.2.3

$48$ में से $2$ घटाएं.

$46$

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(2, - 50), (- 2, 46)$

चरण 5