कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt[4]{x}$ , $[1, 16]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[1, 16]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \sqrt[4]{x}$ का डोमेन ज्ञात करें.

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चरण 1.1

रेडिकैंड को $\sqrt[4]{x}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x \geq 0$

चरण 1.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 0}$

चरण 2

$f (x)$ $[1, 16]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} \sqrt[4]{x} d x)$

चरण 5

$\sqrt[4]{x}$ को $x^{\frac{1}{4}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x)$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{4}}$ का समाकलन $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ है.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16})$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

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चरण 7.1

$16$ पर और $1$ पर $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} ((\frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

चरण 7.2

सरल करें.

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चरण 7.2.1

$16$ को $2^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

चरण 7.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

चरण 7.2.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 7.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

चरण 7.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

चरण 7.2.4

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 32 - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

चरण 7.2.5

$\frac{4}{5}$ और $32$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4 \cdot 32}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

चरण 7.2.6

$4$ को $32$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

चरण 7.2.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

चरण 7.2.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5})$

चरण 7.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128 - 4}{5})$

चरण 7.2.10

$128$ में से $4$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{124}{5})$

चरण 8

$16$ में से $1$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$

चरण 9

$\frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$ गुणा करें.

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चरण 9.1

$\frac{1}{15}$ को $\frac{124}{5}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{124}{15 \cdot 5}$

चरण 9.2

$15$ को $5$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{124}{75}$

चरण 10