कैलकुलस उदाहरण

$2 \cos (3 x) + 1 = \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

चरण 1

सभी अभिव्यक्तियों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\cos (2 x)$ घटाएं.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) = 2 \cos (x)$

चरण 1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 \cos (x)$ घटाएं.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\cos (3 x)$ को $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ में बदलने के लिए त्रि-कोण सर्वसमिका का इस्तेमाल करें.

$2 (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.1.3

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$8 \cos^{3} (x) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.1.4

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.1.5

$\cos (2 x)$ को $2 \cos^{2} (x) - 1$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.1.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.1.8

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.2

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 6 \cos (x)$ में से $2 \cos (x)$ घटाएं.

$8 \cos^{3} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 8 \cos (x) = 0$

चरण 2.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

चरण 3

$8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$8 \cos^{3} (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

चरण 3.1.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

चरण 3.1.3

$- 2 \cos^{2} (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - 8 \cos (x) = 0$

चरण 3.1.4

$- 8 \cos (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

चरण 3.1.5

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

चरण 3.1.6

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

चरण 3.1.7

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)) = 0$

चरण 3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

चरण 3.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

चरण 3.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 (\cos^{2} (x) (4 \cos (x) - 1) - (4 \cos (x) - 1)) = 0$

चरण 3.4

महत्तम समापवर्तक, $4 \cos (x) - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

चरण 3.5

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

चरण 3.6

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = \cos (x)$ और $b = 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

चरण 3.6.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

चरण 3.6.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

चरण 4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

चरण 5

$4 \cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$4 \cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए $4 \cos (x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$4 \cos (x) = 1$

चरण 5.2.2

$4 \cos (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$4 \cos (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

चरण 5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

चरण 5.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

चरण 5.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

चरण 5.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{4})$ का मान ज्ञात करें.

$x = 1.31811607$

चरण 5.2.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

चरण 5.2.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

कोष्ठक हटा दें.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

चरण 5.2.6.2

$2 (3.14159265) - 1.31811607$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1

$2$ को $3.14159265$ से गुणा करें.

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

चरण 5.2.6.2.2

$6.2831853$ में से $1.31811607$ घटाएं.

$x = 4.96506923$

चरण 5.2.7

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 5.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 5.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 5.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 5.2.8

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6

$\cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) + 1 = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए $\cos (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\cos (x) = - 1$

चरण 6.2.2

$x = \arccos (- 1)$

चरण 6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$\arccos (- 1)$ का सटीक मान $π$ है.

$x = π$

चरण 6.2.4

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - π$

चरण 6.2.5

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = π$

चरण 6.2.6

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 6.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 6.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 6.2.6.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 6.2.7

$x = π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 7

$\cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) - 1 = 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए $\cos (x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\cos (x) = 1$

चरण 7.2.2

$x = \arccos (1)$

चरण 7.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$\arccos (1)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 7.2.4

$x = 2 π - 0$

चरण 7.2.5

$2 π$ में से $0$ घटाएं.

$x = 2 π$

चरण 7.2.6

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 7.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 7.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 7.2.6.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 7.2.7

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 9

उत्तरों को समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$π + 2 π n$ और $2 π n$ को $π n$ में समेकित करें.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 9.2

$π n$ और $2 π + 2 π n$ को $π n$ में समेकित करें.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए