कैलकुलस उदाहरण

$\frac{e^{2 u}}{e^{u} + e^{- u}}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ है, जहाँ $f (u) = e^{2 u}$ और $g (u) = e^{u} + e^{- u}$ है.

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u}] - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ $f' (g (u)) g' (u)$ है, जहाँ $f (u) = e^{u}$ और $g (u) = 2 u$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 u$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 u$ से बदलें.

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (e^{2 u} \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $2$ , $u$ के संबंध में स्थिर है, $u$ के संबंध में $2 u$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u} [u]$ है.

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} (2 \frac{d}{d u} [u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} (2 \cdot 1) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} \cdot 2 - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 3.3.2

$2$ को $(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot ((e^{u} + e^{- u}) e^{2 u}) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 3.4

योग नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $e^{u} + e^{- u}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u} [e^{u}] + \frac{d}{d u} [e^{- u}]$ है.

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (\frac{d}{d u} [e^{u}] + \frac{d}{d u} [e^{- u}])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 4

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + \frac{d}{d u} [e^{- u}])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ $f' (g (u)) g' (u)$ है, जहाँ $f (u) = e^{u}$ और $g (u) = - u$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- u$ के रूप में सेट करें.

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 5.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{u_{2}} \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- u$ से बदलें.

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $- 1$ , $u$ के संबंध में स्थिर है, $u$ के संबंध में $- u$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d u} [u]$ है.

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} (- \frac{d}{d u} [u]))}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 6.2

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} (- 1 \cdot 1))}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} \cdot - 1)}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 6.3.2

$- 1$ को $e^{- u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - 1 \cdot e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 6.3.3

$- 1 e^{- u}$ को $- e^{- u}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 e^{u} + 2 e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 e^{u} e^{2 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 e^{u} e^{2 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.1

घातांक जोड़कर $e^{u}$ को $e^{2 u}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.1.1

$e^{2 u}$ ले जाएं.

$\frac{2 (e^{2 u} e^{u}) + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 e^{2 u + u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.1.3

$2 u$ और $u$ जोड़ें.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.2

घातांक जोड़कर $e^{- u}$ को $e^{2 u}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.2.1

$e^{2 u}$ ले जाएं.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 (e^{2 u} e^{- u}) - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{2 u - u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.2.3

$2 u$ में से $u$ घटाएं.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.3

घातांक जोड़कर $e^{2 u}$ को $e^{u}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.3.1

$e^{u}$ ले जाएं.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - (e^{u} e^{2 u}) - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{u + 2 u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.3.3

$u$ और $2 u$ जोड़ें.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{2 u} e^{- u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.5

घातांक जोड़कर $e^{2 u}$ को $e^{- u}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.5.1

$e^{- u}$ ले जाएं.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 (e^{- u} e^{2 u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{- u + 2 u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.5.3

$- u$ और $2 u$ जोड़ें.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} + 1 e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.1.7

$e^{u}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} + e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.2

$2 e^{3 u}$ में से $e^{3 u}$ घटाएं.

$\frac{2 e^{u} + e^{3 u} + e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

चरण 7.4.3

$2 e^{u}$ और $e^{u}$ जोड़ें.

$\frac{3 e^{u} + e^{3 u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$