कैलकुलस उदाहरण

${(5 x)}^{x}$

चरण 1

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$5 x$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{x}]$

चरण 1.2

उत्पाद नियम को $5 (x)$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [5^{x} x^{x}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 5^{x}$ और $g (x) = x^{x}$ है.

$5^{x} \frac{d}{d x} [x^{x}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 3

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{x}$ को $e^{\ln (x^{x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$5^{x} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 3.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{x})$ का प्रसार करें.

$5^{x} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x \ln (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$5^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$5^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x \ln (x)$ से बदलें.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 5

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 7.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 7.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 7.4

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

चरण 8

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $5$ है.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

चरण 9.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 5^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

चरण 9.3

$e^{x \ln (x)}$ को $1$ से गुणा करें.

$5^{x} e^{x \ln (x)} + 5^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

चरण 9.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$5^{x} e^{x \ln (x)} + 5^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 5^{x} x^{x} \ln (5)$