कैलकुलस उदाहरण

$g (x) = \frac{8 x^{3} - 1}{2 x - 1}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 8 x^{3} - 1$ और $g (x) = 2 x - 1$ है.

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1] - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x^{3} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{3}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{(2 x - 1) (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{(2 x - 1) (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 3.3

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2} + 0) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 4.2

$24 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 4.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 5

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 5.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 6

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 6.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) + (- (8 x^{3}) - - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 \cdot 24 x \cdot x^{2} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$\frac{2 \cdot 24 (x^{2} x) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.1.2.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cdot 24 (x^{2} x^{1}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \cdot 24 x^{2 + 1} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.1.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 \cdot 24 x^{3} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.1.3

$2$ को $24$ से गुणा करें.

$\frac{48 x^{3} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.1.4

$24$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.1.5

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 8 x^{3} \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.1.6

$2$ को $- 8$ से गुणा करें.

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.1.7

$- - 1 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} + 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.1.7.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.4.2

$48 x^{3}$ में से $16 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{32 x^{3} - 24 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.5

$32 x^{3} - 24 x^{2} + 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$32 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (16 x^{3}) - 24 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.5.2

$- 24 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.5.3

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.5.4

$2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (16 x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 7.5.5

$2 (16 x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (16 x^{3} - 12 x^{2} + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$