कैलकुलस उदाहरण

$\cos (\arctan (2 x))$

चरण 1

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

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चरण 1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arctan (2 x)$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, 2 x)$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\cos (\arctan (2 x))$ $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}]$

चरण 1.2

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 (x))}^{2}}}]$

चरण 1.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 1.3.1

उत्पाद नियम को $2 (x)$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}}]$

चरण 1.3.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}]$

चरण 1.3.3

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ को ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 1.3.4

$\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

चरण 1.3.5

घातांक को ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

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चरण 1.3.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

चरण 1.3.5.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

चरण 1.3.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ और $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + 4 x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{1}{2}$ है.

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + 4 x^{2}$ से बदलें.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 6.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 7.2

${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

चरण 8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ है.

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

चरण 9

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

चरण 10

$0$ और $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

चरण 11

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 12

पदों को सरल करें.

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चरण 12.1

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 12.2

$- 4$ और $\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 4}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 12.3

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 13

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 13.1

$2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

चरण 16

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 16.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

चरण 16.2

$- 2$ और $\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

चरण 16.3

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

चरण 16.4

$\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{- 4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 16.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$