कैलकुलस उदाहरण

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

चरण 1

$y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ के लिए डोमेन पता करें ताकि $x$ मानों की सूची को चुनकर बिन्दुओं की सूची पता की जा सके, जिससे रेडिकल का ग्राफ बनाने में मदद मिलेगी.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

रेडिकैंड को $\sqrt{2 - x^{2}}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$2 - x^{2} \geq 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

असमानता के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- x^{2} \geq - 2$

चरण 1.2.2

$- x^{2} \geq - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$- x^{2} \geq - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.2.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{2} \leq 2$

चरण 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

चरण 1.2.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | \leq \sqrt{2}$

चरण 1.2.5

$| x | \leq \sqrt{2}$ को अलग-अलग लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

पहले अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, पता लगाएं कि निरपेक्ष मान के अंदर गैर-ऋणात्मक है.

$x \geq 0$

चरण 1.2.5.2

उस हिस्से में जहां $x$ गैर-ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें.

$x \leq \sqrt{2}$

चरण 1.2.5.3

दूसरे अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, यह पता लगाएं कि निरपेक्ष मान का आंतरिक भाग ऋणात्मक है.

$x < 0$

चरण 1.2.5.4

उस हिस्से में जहां $x$ ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें और $- 1$ से गुणा करें.

$- x \leq \sqrt{2}$

चरण 1.2.5.5

अलग-अलग रूप में लिखें.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

चरण 1.2.6

$x \leq \sqrt{2}$ और $x \geq 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

चरण 1.2.7

$- x \leq \sqrt{2}$ को हल करें जब $x < 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

$- x \leq \sqrt{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.1

$- x \leq \sqrt{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

चरण 1.2.7.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

चरण 1.2.7.1.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

चरण 1.2.7.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.3.1

ऋणात्मक को $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

चरण 1.2.7.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{2}$ को $- \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x \geq - \sqrt{2}$

चरण 1.2.7.2

$x \geq - \sqrt{2}$ और $x < 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

चरण 1.2.8

हलों का संघ ज्ञात करें.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

चरण 1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

चरण 2

अंतिम बिंदुओं को पता करने के लिए, डोमेन से $x$ मानों की सीमा को $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \sqrt{2}$ से बदलें.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{2 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

चरण 2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

उत्पाद नियम को $- \sqrt{2}$ पर लागू करें.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

चरण 2.2.2

घातांक जोड़कर $- 1$ को ${(- 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ ले जाएं.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

चरण 2.2.2.2

${(- 1)}^{2}$ को $- 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$- 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

चरण 2.2.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 2.2.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 2.2.3

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 2.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 2.2.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 2.2.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 2.2.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

चरण 2.2.4.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 1 \cdot 2}$

चरण 2.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

चरण 2.2.5.2

$2$ में से $2$ घटाएं.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0}$

चरण 2.2.5.3

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.2.5.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot 0$

चरण 2.2.6

$- \sqrt{2} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (- \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

चरण 2.2.6.2

$0$ को $\sqrt{2}$ से गुणा करें.

$f (- \sqrt{2}) = 0$

चरण 2.2.7

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 2.3

व्यंजक में चर $x$ को $\sqrt{2}$ से बदलें.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

चरण 2.4

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

चरण 2.4.2

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

चरण 2.4.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

चरण 2.4.2.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

चरण 2.4.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

चरण 2.4.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

चरण 2.4.2.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 1 \cdot 2)}$

चरण 2.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

चरण 2.4.3.2

$2$ में से $2$ घटाएं.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

चरण 2.4.3.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0}$

चरण 2.4.3.4

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.4.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (\sqrt{2}) = 0$

चरण 2.4.4

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 3

अंतिम बिंदु $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$ हैं.

$(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$

चरण 4

वर्गमूल को शीर्ष $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0),$ के आसपास के बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{array}$

चरण 5