कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 15$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 15 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x)$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 15$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (24 x)$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [24 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $24 x$ का व्युत्पन्न $24 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \cdot 1$

चरण 1.1.4.3

$24$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x^{2} - 30 x + 24$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [24]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

चरण 1.2.2.2

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

चरण 1.2.2.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 30 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $- 30$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 30 x$ का व्युत्पन्न $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 12 x - 30 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (24)$

चरण 1.2.3.2

$f'' (x) = 12 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (24)$

चरण 1.2.3.3

$- 30$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x - 30 + \frac{d}{d x} (24)$

चरण 1.2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $24$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $24$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 12 x - 30 + 0$

चरण 1.2.4.2

$12 x - 30$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 12 x - 30$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x - 30$ है.

$12 x - 30$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x - 30 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x - 30 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $30$ जोड़ें.

$12 x = 30$

चरण 2.3

$12 x = 30$ के प्रत्येक पद को $12$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$12 x = 30$ के प्रत्येक पद को $12$ से विभाजित करें.

$\frac{12 x}{12} = \frac{30}{12}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12 x}{12} = \frac{30}{12}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{30}{12}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$30$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$30$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 (5)}{12}$

चरण 2.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.2.1

$12$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}$

चरण 2.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}$

चरण 2.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{5}{2}$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{5}{2}$ को $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{5}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(\frac{5}{2})}^{3} - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{5}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{5^{3}}{2^{3}}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.2

$5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{2^{3}}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.3

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{8}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.4.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{2 (4)}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{2 \cdot 4}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.5

उत्पाद नियम को $\frac{5}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.6

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 \frac{25}{2^{2}} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.7

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 (\frac{25}{4}) + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.8

$- 15 (\frac{25}{4})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.8.1

$- 15$ और $\frac{25}{4}$ को मिलाएं.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} + \frac{- 15 \cdot 25}{4} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.8.2

$- 15$ को $25$ से गुणा करें.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} + \frac{- 375}{4} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 24 (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.10

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.10.1

$24$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 2 (12) (\frac{5}{2})$

चरण 3.1.2.1.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 2 \cdot (12 (\frac{5}{2}))$

चरण 3.1.2.1.10.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 12 \cdot 5$

चरण 3.1.2.1.11

$12$ को $5$ से गुणा करें.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 60$

चरण 3.1.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{125 - 375}{4}$

चरण 3.1.2.2.2

$125$ में से $375$ घटाएं.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{- 250}{4}$

चरण 3.1.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.3.1

$- 250$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.3.1.1

$- 250$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{2 (- 125)}{4}$

चरण 3.1.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.3.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 2}$

चरण 3.1.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 2}$

चरण 3.1.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{- 125}{2}$

चरण 3.1.2.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{5}{2}) = 60 - \frac{125}{2}$

चरण 3.1.2.4

$60$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{5}{2}) = 60 \cdot \frac{2}{2} - \frac{125}{2}$

चरण 3.1.2.5

$60$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{60 \cdot 2}{2} - \frac{125}{2}$

चरण 3.1.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{60 \cdot 2 - 125}{2}$

चरण 3.1.2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.7.1

$60$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{120 - 125}{2}$

चरण 3.1.2.7.2

$120$ में से $125$ घटाएं.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 5}{2}$

चरण 3.1.2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{5}{2}$

चरण 3.1.2.9

अंतिम उत्तर $- \frac{5}{2}$ है.

$- \frac{5}{2}$

चरण 3.2

$\frac{5}{2}$ को $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, \frac{5}{2})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.4$ से बदलें.

$f'' (2.4) = 12 (2.4) - 30$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$12$ को $2.4$ से गुणा करें.

$f'' (2.4) = 28.8 - 30$

चरण 5.2.2

$28.8$ में से $30$ घटाएं.

$f'' (2.4) = - 1.2$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 1.2$ है.

$- 1.2$

चरण 5.3

$2.4$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 1.2$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, \frac{5}{2})$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{5}{2})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\frac{5}{2}, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.6$ से बदलें.

$f'' (2.6) = 12 (2.6) - 30$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$12$ को $2.6$ से गुणा करें.

$f'' (2.6) = 31.2 - 30$

चरण 6.2.2

$31.2$ में से $30$ घटाएं.

$f'' (2.6) = 1.2$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $1.2$ है.

$1.2$

चरण 6.3

$2.6$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $1.2$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(\frac{5}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{5}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$ है.

$(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$

चरण 8