कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{3} + 9 x^{2} - 53$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 53)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 53)$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 53$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 53$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

चरण 1.1.4.2

$- 3 x^{2} + 18 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 3 x^{2} + 18 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

चरण 1.2.2.2

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

चरण 1.2.2.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [18 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $18$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $18 x$ का व्युत्पन्न $18 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1$

चरण 1.2.3.3

$18$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 6 x + 18$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 6 x + 18$ है.

$- 6 x + 18$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 6 x + 18 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 6 x + 18 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $18$ घटाएं.

$- 6 x = - 18$

चरण 2.3

$- 6 x = - 18$ के प्रत्येक पद को $- 6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 6 x = - 18$ के प्रत्येक पद को $- 6$ से विभाजित करें.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$- 6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 18}{- 6}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$- 18$ को $- 6$ से विभाजित करें.

$x = 3$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $3$ को $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f (3) = - {(3)}^{3} + 9 {(3)}^{2} - 53$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3) = - 1 \cdot 27 + 9 {(3)}^{2} - 53$

चरण 3.1.2.1.2

$- 1$ को $27$ से गुणा करें.

$f (3) = - 27 + 9 {(3)}^{2} - 53$

चरण 3.1.2.1.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3) = - 27 + 9 \cdot 9 - 53$

चरण 3.1.2.1.4

$9$ को $9$ से गुणा करें.

$f (3) = - 27 + 81 - 53$

चरण 3.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

$- 27$ और $81$ जोड़ें.

$f (3) = 54 - 53$

चरण 3.1.2.2.2

$54$ में से $53$ घटाएं.

$f (3) = 1$

चरण 3.1.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 3.2

$3$ को $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(3, 1)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(3, 1)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 3)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.9$ से बदलें.

$f'' (2.9) = - 6 \cdot 2.9 + 18$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 6$ को $2.9$ से गुणा करें.

$f'' (2.9) = - 17.4 + 18$

चरण 5.2.2

$- 17.4$ और $18$ जोड़ें.

$f'' (2.9) = 0.6$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $0.6$ है.

$0.6$

चरण 5.3

$2.9$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.6$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, 3)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 3)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(3, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $3.1$ से बदलें.

$f'' (3.1) = - 6 \cdot 3.1 + 18$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$- 6$ को $3.1$ से गुणा करें.

$f'' (3.1) = - 18.6 + 18$

चरण 6.2.2

$- 18.6$ और $18$ जोड़ें.

$f'' (3.1) = - 0.6$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.6$ है.

$- 0.6$

चरण 6.3

$3.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.6$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(3, \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(3, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 7

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(3, 1)$ है.

$(3, 1)$

चरण 8