कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{3}$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

चरण 2.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

चरण 2.1.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

चरण 2.1.2.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

चरण 2.1.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

चरण 2.1.2.5

अंतिम उत्तर $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ है.

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

चरण 2.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

चरण 2.2.2

$x$ ले जाएं.

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

चरण 2.2.3

$2 x^{3}$ ले जाएं.

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

चरण 2.2.4

$6 h x^{2}$ ले जाएं.

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

चरण 2.2.5

$6 h^{2} x$ और $2 h^{3}$ को पुन: क्रमित करें.

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

चरण 2.3

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

चरण 4.1.2

$2 x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

चरण 4.1.3

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

चरण 4.1.4

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ में से $2 h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$2 h^{3}$ में से $2 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

चरण 4.1.4.2

$6 h^{2} x$ में से $2 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

चरण 4.1.4.3

$6 h x^{2}$ में से $2 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

चरण 4.1.4.4

$2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ में से $2 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

चरण 4.1.4.5

$2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ में से $2 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

चरण 4.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

चरण 4.2.1.2

$2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

चरण 4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

चरण 4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

चरण 4.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

चरण 4.4

$h$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

चरण 4.5

$2 h^{2}$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

चरण 4.6

$6 x h$ और $6 x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

चरण 5

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

चरण 6

$6 x^{2}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

चरण 7

$6 x$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

चरण 8

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2}$

चरण 9

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $h^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

चरण 10

$h$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

चरण 10.2

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}$

चरण 11

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$6 x \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1.1

$0$ को $6$ से गुणा करें.

$6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2}$

चरण 11.1.1.2

$0$ को $x$ से गुणा करें.

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2}$

चरण 11.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0$

चरण 11.1.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$6 x^{2} + 0 + 0$

चरण 11.2

$6 x^{2} + 0 + 0$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$6 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$6 x^{2} + 0$

चरण 11.2.2

$6 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$6 x^{2}$

चरण 12