कैलकुलस उदाहरण

$\int x \sqrt[4]{5 x + 1} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sqrt[4]{5 x + 1}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (\frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{4}{25}$ और ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ को मिलाएं.

$x \frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

चरण 2.2

$x$ और $\frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25}$ को मिलाएं.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{4}{25}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{4}{25}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - (\frac{4}{25} \int {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x)$

चरण 4

मान लीजिए $u = 5 x + 1$ .फिर $d u = 5 d x$ , तो $\frac{1}{5} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 5 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$5 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.3.3

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 + 0$

चरण 4.1.4.2

$5$ और $0$ जोड़ें.

$5$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int u^{\frac{5}{4}} \frac{1}{5} d u$

चरण 5

$u^{\frac{5}{4}}$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{5} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} (\frac{1}{5} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{5}$ को $\frac{4}{25}$ से गुणा करें.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{5 \cdot 25} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

चरण 7.2

$5$ को $25$ से गुणा करें.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{5}{4}}$ का समाकलन $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ है.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$ को $\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{4}{25}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{4 x}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

चरण 9.2.2

$\frac{4 x}{25}$ और ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

चरण 9.2.3

$\frac{4}{9}$ को $\frac{4}{125}$ से गुणा करें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

चरण 9.2.4

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

चरण 9.2.5

$9$ को $125$ से गुणा करें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} + C$

चरण 9.2.6

$- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{25}{25}$ से गुणा करें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot \frac{25}{25} + C$

चरण 9.2.7

$- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ और $\frac{25}{25}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} + \frac{- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

चरण 9.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

चरण 9.2.9

$u^{\frac{9}{4}}$ और $\frac{16}{1125}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125} \cdot 25}{25} + C$

चरण 9.2.10

$25$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 25 \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}}{25} + C$

चरण 9.2.11

$- 25$ और $\frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 25 (u^{\frac{9}{4}} \cdot 16)}{1125}}{25} + C$

चरण 9.2.12

$16$ को $- 25$ से गुणा करें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 400 u^{\frac{9}{4}}}{1125}}{25} + C$

चरण 9.2.13

$- 400 u^{\frac{9}{4}}$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{1125}}{25} + C$

चरण 9.2.14

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.14.1

$1125$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 (45)}}{25} + C$

चरण 9.2.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 \cdot 45}}{25} + C$

चरण 9.2.14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

चरण 9.2.15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

चरण 9.2.16

$4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{45}{45}$ से गुणा करें.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

चरण 9.2.17

$4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ और $\frac{45}{45}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

चरण 9.2.18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45 - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

चरण 9.2.19

$45$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

चरण 9.2.20

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25}$ को फिर से लिखें.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45} \cdot \frac{1}{25} + C$

चरण 9.2.21

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}$ को $\frac{1}{25}$ से गुणा करें.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45 \cdot 25} + C$

चरण 9.2.22

$45$ को $25$ से गुणा करें.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x + 1$ से बदलें.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

चरण 11

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{1125} (180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}) + C$