कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

चरण 1

योग को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(i - 1)}^{2}$ को $(i - 1) (i - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$i ((i - 1) (i - 1))$

चरण 1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(i - 1) (i - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

चरण 1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

चरण 1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

चरण 1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$i$ को $i$ से गुणा करें.

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

चरण 1.3.1.2

$- 1$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

चरण 1.3.1.3

$- 1 i$ को $- i$ के रूप में फिर से लिखें.

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

चरण 1.3.1.4

$- 1 i$ को $- i$ के रूप में फिर से लिखें.

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

चरण 1.3.1.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$i (i^{2} - i - i + 1)$

चरण 1.3.2

$- i$ में से $i$ घटाएं.

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

चरण 1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

घातांक जोड़कर $i$ को $i^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$i$ को $i^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1.1

$i$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

चरण 1.5.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

चरण 1.5.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

चरण 1.5.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

चरण 1.5.3

$i$ को $1$ से गुणा करें.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

चरण 1.6

घातांक जोड़कर $i$ को $i$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$i$ ले जाएं.

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

चरण 1.6.2

$i$ को $i$ से गुणा करें.

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

चरण 1.7

योग को फिर से लिखें.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

चरण 2

योग को छोटे योगों में विभाजित करें जो योग के नियमों के अनुकूल हों.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

चरण 3

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात $3$ वाले बहुपद के योग का सूत्र है:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

चरण 3.2

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$22$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

चरण 3.3.1.2

$22$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

चरण 3.3.1.3

$23$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

चरण 3.3.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$484$ को $529$ से गुणा करें.

$\frac{256036}{4}$

चरण 3.3.2.2

$256036$ को $4$ से विभाजित करें.

$64009$

चरण 4

$2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

घात $2$ वाले बहुपद के योग का सूत्र है:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

चरण 4.2

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सामने वाले शब्द से गुणा करना सुनिश्चित करें.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

चरण 4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$22$ और $1$ जोड़ें.

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

चरण 4.3.1.2

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.2.1

$22$ को $23$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

चरण 4.3.1.2.2

$2$ को $22$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

चरण 4.3.1.3

$44$ और $1$ जोड़ें.

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

चरण 4.3.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$506$ को $45$ से गुणा करें.

$- 2 (\frac{22770}{6})$

चरण 4.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

चरण 4.3.2.2.2

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

चरण 4.3.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

चरण 4.3.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

चरण 4.3.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

$22770$ को $3$ से विभाजित करें.

$- 1 \cdot 7590$

चरण 4.3.2.3.2

$- 1$ को $7590$ से गुणा करें.

$- 7590$

चरण 5

$\sum_{i = 1}^{22} i$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

घात $1$ वाले बहुपद के योग का सूत्र है:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

चरण 5.2

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$22$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$22 (22 + 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

चरण 5.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

चरण 5.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

चरण 5.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

चरण 5.3.1.2.4

$11 (22 + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$11 (22 + 1)$

चरण 5.3.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$22$ और $1$ जोड़ें.

$11 \cdot 23$

चरण 5.3.2.2

$11$ को $23$ से गुणा करें.

$253$

चरण 6

योग के परिणाम जोड़ें.

$64009 - 7590 + 253$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$64009$ में से $7590$ घटाएं.

$56419 + 253$

चरण 7.2

$56419$ और $253$ जोड़ें.

$56672$