कैलकुलस उदाहरण

$y = x {(x - 4)}^{3}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ है.

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 4$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 4$ से बदलें.

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.4.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.5

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

चरण 3.3.6

${(x - 4)}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ में से ${(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$x (3 {(x - 4)}^{2})$ में से ${(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

चरण 3.4.1.2

${(x - 4)}^{3}$ में से ${(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

चरण 3.4.1.3

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ में से ${(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

${(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

चरण 3.4.2.2

$3 x$ और $x$ जोड़ें.

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

चरण 3.4.3

${(x - 4)}^{2}$ को $(x - 4) (x - 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

चरण 3.4.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 4) (x - 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

चरण 3.4.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

चरण 3.4.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

चरण 3.4.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

चरण 3.4.5.1.2

$- 4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

चरण 3.4.5.1.3

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

चरण 3.4.5.2

$- 4 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

चरण 3.4.6

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ का प्रसार करें.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.2.1

$x$ ले जाएं.

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.3

$- 4$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.5.1

$x$ ले जाएं.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.6

$- 8$ को $4$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.7

$- 4$ को $- 8$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.8

$4$ को $16$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

चरण 3.4.7.9

$16$ को $- 4$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

चरण 3.4.8

$- 4 x^{2}$ में से $32 x^{2}$ घटाएं.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

चरण 3.4.9

$32 x$ और $64 x$ जोड़ें.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$