कैलकुलस उदाहरण

$y = (x^{2} + 1) (x + 5 + \frac{1}{x})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} + 1$ और $g (x) = x + 5 + \frac{1}{x}$ है.

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 5 + \frac{1}{x}] + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 5 + \frac{1}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x^{2} + 1) (1 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.4.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + 0)$

चरण 2.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x)$

चरण 2.9.2

$2$ को $x + 5 + \frac{1}{x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + 2 \cdot (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + (2 x + 2 \cdot 5 + 2 \frac{1}{x}) x$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

चरण 3.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

चरण 3.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

चरण 3.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

चरण 3.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

चरण 3.4.5

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2 \frac{1}{x} x$

चरण 3.4.6

$2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2}{x} x$

चरण 3.4.7

$\frac{2}{x}$ और $x$ को मिलाएं.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

चरण 3.4.8

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

चरण 3.4.8.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2$

चरण 3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 x^{2} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

चरण 3.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x^{2} + 1 (x^{2} + 1) - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

चरण 3.6.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

चरण 3.6.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

चरण 3.6.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1.1

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

चरण 3.6.2.1.2

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

चरण 3.6.2.1.3

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1.3.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

चरण 3.6.2.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

चरण 3.6.2.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

चरण 3.6.2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

चरण 3.6.2.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$2 x^{2} + x^{2} + 0 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

चरण 3.6.2.3

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$2 x^{2} + x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

चरण 3.7

$2 x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$