कैलकुलस उदाहरण

$\int \sqrt{3 - 2 x} x^{2} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = \sqrt{3 - 2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (- \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$x^{2} (- \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 2.2

$x^{2}$ और $\frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $- \frac{1}{3} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $- \frac{1}{3} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 4.2

$- 2$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 4.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 4.5

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 3 - 2 x$ .फिर $d u = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 3 - 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$3 - 2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

चरण 5.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 5.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 2 \cdot 1$

चरण 5.1.3.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 2$

चरण 5.1.4

$0$ में से $2$ घटाएं.

$- 2$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{- 2} d u$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 6.2

$u^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 8.2

$- \frac{u}{2}$ और $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 8.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 8.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{1 + \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 8.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 8.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{2 + 3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 8.7

$2$ और $3$ जोड़ें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 8.8

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

चरण 8.9

$\frac{3}{2}$ को $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} d u)$

चरण 8.10

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u)$

चरण 8.11

$- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4}$ और $\frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4}$ को पुन: क्रमित करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u)$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\int \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

चरण 10

चूँकि $\frac{3}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{3}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

चरण 12

$\frac{2}{5}$ और $u^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

चरण 13

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

चरण 14

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{5}{2}} d u)))$

चरण 15

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{5}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ है.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C)))$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\frac{2}{7}$ और $u^{\frac{7}{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C)))$

चरण 16.2

सरल करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) + C$

चरण 16.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

$\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot \frac{3}{3} + C$

चरण 16.3.2

$\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}))$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot 3}{3} + C$

चरण 16.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot 3}{3} + C$

चरण 16.3.4

$\frac{2}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{2 \cdot 3}{3}}{3} + C$

चरण 16.3.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{6}{3}}{3} + C$

चरण 16.3.6

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.6.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3}}{3} + C$

चरण 16.3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.6.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}{3} + C$

चरण 16.3.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}{3} + C$

चरण 16.3.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{2}{1}}{3} + C$

चरण 16.3.6.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot 2}{3} + C$

चरण 16.3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})}{3} + C$

चरण 17

$u$ की सभी घटनाओं को $3 - 2 x$ से बदलें.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{2}}}{14})}{3} + C$

चरण 18

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} (- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{10} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{14} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{2}})) + C$