कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

चरण 1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$e^{2 y}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

चरण 1.2

घातांक को ${(e^{2 y})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

चरण 1.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = y$ और $d v = e^{- 2 y}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$e^{- 2 y}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

चरण 3.2

$y$ और $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

चरण 4

चूँकि $- \frac{1}{2}$ बटे $y$ अचर है, $- \frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

चरण 5.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

चरण 6

मान लीजिए $u = - 2 y$ .फिर $d u = - 2 d y$ , तो $- \frac{1}{2} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = - 2 y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$- 2 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

चरण 6.1.2

चूंकि $- 2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2 y$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \cdot 1$

चरण 6.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 6.2

$y$ के लिए $u = - 2 y$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

चरण 6.3

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 6.4

$y$ के लिए $u = - 2 y$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

चरण 6.5

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 2$

चरण 6.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

चरण 6.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 7.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

चरण 10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

चरण 11

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

चरण 12

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$1$ पर और $0$ पर $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

चरण 12.2

$- 2$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.2

$e^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.4

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.5

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.6

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.7

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.7.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.7.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.7.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.8

$- \frac{1}{2 e^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 12.3.9

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

चरण 12.3.10

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

चरण 12.3.11

$- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.12

$- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ और $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.14

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.15

$- 2$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.16

$e^{2}$ और $\frac{- 2}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.17

$- 2$ को $e^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.18

$- 2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.18.1

$- 2 e^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.18.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.18.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.18.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.18.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

चरण 12.3.19

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

चरण 13.2

$- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

चरण 13.3

$- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

चरण 13.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

चरण 14.2

$\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$\frac{e^{2}}{2}$ और $e^{- 2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

चरण 14.2.2

घातांक जोड़कर $e^{2}$ को $e^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

चरण 14.2.2.2

$2$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

चरण 14.2.3

$e^{0}$ को सरल करें.

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

चरण 14.3

$\frac{e^{2}}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

चरण 14.4

$- 1$ को $e^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

चरण 14.5

$- 1 e^{2}$ को $- e^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

चरण 14.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

चरण 14.6.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

चरण 14.6.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

चरण 14.6.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

चरण 14.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

चरण 14.8

$\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.8.1

$\frac{3 - e^{2}}{2}$ को $\frac{1}{2 e^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

चरण 14.8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

चरण 15

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

दशमलव रूप:

$0.14849853 \dots$

चरण 16