कैलकुलस उदाहरण

$y = 4 x^{3} - 48 x - 7$

चरण 1

$y = 4 x^{3} - 48 x - 7$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x - 7$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} - 48 x - 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

चरण 2.1.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 48$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 48 x$ का व्युत्पन्न $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

चरण 2.1.3.3

$- 48$ को $1$ से गुणा करें.

$12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} [- 7]$

चरण 2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$12 x^{2} - 48 + 0$

चरण 2.1.4.2

$12 x^{2} - 48$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $12 x^{2} - 48$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ है.

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x^{2}$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 48]$

चरण 2.2.2.3

$2$ को $12$ से गुणा करें.

$24 x + \frac{d}{d x} [- 48]$

चरण 2.2.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 48$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 48$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$24 x + 0$

चरण 2.2.3.2

$24 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 24 x$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $24 x$ है.

$24 x$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $24 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$24 x = 0$

चरण 3.2

$24 x = 0$ के प्रत्येक पद को $24$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$24 x = 0$ के प्रत्येक पद को $24$ से विभाजित करें.

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$24$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

चरण 3.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{24}$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$0$ को $24$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = 4 x^{3} - 48 x - 7$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 48 \cdot 0 - 7$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 4 \cdot 0 - 48 \cdot 0 - 7$

चरण 4.1.2.1.2

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 - 48 \cdot 0 - 7$

चरण 4.1.2.1.3

$- 48$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 - 7$

चरण 4.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 - 7$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ में से $7$ घटाएं.

$f (0) = - 7$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $- 7$ है.

$- 7$

चरण 4.2

$0$ को $f (x) = 4 x^{3} - 48 x - 7$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, - 7)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, - 7)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.1$ से बदलें.

$f'' (- 0.1) = 24 (- 0.1)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$24$ को $- 0.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 2.4$

चरण 6.2.2

अंतिम उत्तर $- 2.4$ है.

$- 2.4$

चरण 6.3

$- 0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 2.4$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, 0)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.1$ से बदलें.

$f'' (0.1) = 24 (0.1)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$24$ को $0.1$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 2.4$

चरण 7.2.2

अंतिम उत्तर $2.4$ है.

$2.4$

चरण 7.3

$0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $2.4$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(0, - 7)$ है.

$(0, - 7)$

चरण 9