कैलकुलस उदाहरण

$y = x \sqrt[3]{x + 1}$

चरण 1

$\sqrt[3]{x + 1}$ को ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ है.

$x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.2

$\frac{1}{3}$ और ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x (\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.4

$\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 12.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 12.2

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

चरण 14

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

चरण 15

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 16

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ और $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$\frac{x}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 17

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 18

घातांक जोड़कर ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ को ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ ले जाएं.

$\frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 18.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 18.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 18.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x + {(x + 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 18.5

$3$ को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{x + {(x + 1)}^{1} \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 19

${(x + 1)}^{1} \cdot 3$ को सरल करें.

$\frac{x + (x + 1) \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 20

$3$ को $x + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x + 3 \cdot (x + 1)}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 21

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot 1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 21.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.2.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + 3 x + 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 21.2.2

$x$ और $3 x$ जोड़ें.

$\frac{4 x + 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$