कैलकुलस उदाहरण

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

चरण 1

दीर्घवृत्त का मानक रूप पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$

चरण 1.2

$4 x^{2} - 8 x$ के लिए वर्ग पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

चरण 1.2.2

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

चरण 1.2.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$- 8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

$- 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

चरण 1.2.3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

चरण 1.2.3.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

चरण 1.2.3.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{- 4}{4}$

चरण 1.2.3.2.2

$- 4$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

चरण 1.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

चरण 1.2.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

चरण 1.2.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{- 1}{1}$

चरण 1.2.3.2.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$d = - 1$

चरण 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

चरण 1.2.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

चरण 1.2.4.2.1.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{64}{16}$

चरण 1.2.4.2.1.3

$64$ को $16$ से विभाजित करें.

$e = 0 - 1 \cdot 4$

चरण 1.2.4.2.1.4

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$e = 0 - 4$

चरण 1.2.4.2.2

$0$ में से $4$ घटाएं.

$e = - 4$

चरण 1.2.5

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ में प्रतिस्थापित करें.

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

चरण 1.3

समीकरण $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$ में $4 x^{2} - 8 x$ के स्थान पर $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ को प्रतिस्थापित करें.

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = - 4$

चरण 1.4

दोनों पक्षों में $4$ जोड़कर समीकरण के दाईं ओर $- 4$ ले जाएं.

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 4 y = - 4 + 4$

चरण 1.5

$y^{2} + 4 y$ के लिए वर्ग पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

चरण 1.5.2

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.3.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.2.1

$2 \cdot 1$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

चरण 1.5.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{2}{1}$

चरण 1.5.3.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$d = 2$

चरण 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

चरण 1.5.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1

$4^{2}$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1.1

$4^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

चरण 1.5.4.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1.2.1

$4 \cdot 1$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

चरण 1.5.4.2.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

चरण 1.5.4.2.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

चरण 1.5.4.2.1.1.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$e = 0 - 1 \cdot 4$

चरण 1.5.4.2.1.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$e = 0 - 4$

चरण 1.5.4.2.2

$0$ में से $4$ घटाएं.

$e = - 4$

चरण 1.5.5

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप ${(y + 2)}^{2} - 4$ में प्रतिस्थापित करें.

${(y + 2)}^{2} - 4$

चरण 1.6

समीकरण $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$ में $y^{2} + 4 y$ के स्थान पर ${(y + 2)}^{2} - 4$ को प्रतिस्थापित करें.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = - 4 + 4$

चरण 1.7

दोनों पक्षों में $4$ जोड़कर समीकरण के दाईं ओर $- 4$ ले जाएं.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = - 4 + 4 + 4$

चरण 1.8

$- 4 + 4 + 4$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

$- 4$ और $4$ जोड़ें.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 0 + 4$

चरण 1.8.2

$0$ और $4$ जोड़ें.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$

चरण 1.9

प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करके दाईं भुजा को एक के बराबर करें.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

चरण 1.10

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

${(x - 1)}^{2} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1$

चरण 2

यह एक दीर्घवृत्त का रूप है. दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अक्ष के साथ केंद्र को पता करने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस फॉर्म का उपयोग करें.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

चरण 3

इस दीर्घवृत्त के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $a$ दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष की त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, $b$ दीर्घवृत्त के लघु अक्ष की त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, $h$ मूल से x-ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है और $k$ मूल से y- ऑफसेट का प्रतिनिधित्व करता है.

$a = 2$

$b = 1$

$k = - 2$

$h = 1$

चरण 4

दीर्घवृत्त का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(1, - 2)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके दीर्घवृत्त के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

चरण 5.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

चरण 5.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\sqrt{4 - 1}$

चरण 5.3.4

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\sqrt{3}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

दीर्घवृत्त का पहला शीर्ष $a$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + a)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$(1, - 2 + 2)$

चरण 6.3

सरल करें.

$(1, 0)$

चरण 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

चरण 6.5

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$(1, - 2 - (2))$

चरण 6.6

सरल करें.

$(1, - 4)$

चरण 6.7

दीर्घवृत्त के दो केंद्र शीर्ष होते हैं.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

दीर्घवृत्त का पहला फोकस $c$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + c)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$(1, - 2 + \sqrt{3})$

चरण 7.3

दीर्घवृत्त का पहला फोकस $c$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - c)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$(1, - 2 - (\sqrt{3}))$

चरण 7.5

सरल करें.

$(1, - 2 - \sqrt{3})$

चरण 7.6

दीर्घवृत्त के दो केंद्र बिंदु होते हैं.

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}}{2}$

चरण 8.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{4 - 1^{2}}}{2}$

चरण 8.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 1}}{2}$

चरण 8.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{4 - 1}}{2}$

चरण 8.3.4

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 9

ये मान एक दीर्घवृत्त के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(1, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

उत्क्रेंद्रता: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 10