कैलकुलस उदाहरण

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

चरण 1

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$ है.

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{6}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

चरण 2.1.2.3

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $42$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $42 x^{5}$ का व्युत्पन्न $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$- 6 x^{5} + 42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$- 6 x^{5} + 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

चरण 2.1.3.3

$5$ को $42$ से गुणा करें.

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

चरण 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 42 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $- 42$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 42 x$ का व्युत्पन्न $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]$

चरण 2.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]$

चरण 2.1.4.3

$- 42$ को $1$ से गुणा करें.

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + \frac{d}{d x} [19]$

चरण 2.1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $19$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $19$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + 0$

चरण 2.1.5.2

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x^{5}$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

चरण 2.2.2.2

$- 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

चरण 2.2.2.3

$5$ को $- 6$ से गुणा करें.

$- 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $210$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $210 x^{4}$ का व्युत्पन्न $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$- 30 x^{4} + 210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$- 30 x^{4} + 210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 42]$

चरण 2.2.3.3

$4$ को $210$ से गुणा करें.

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 42]$

चरण 2.2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 42$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 42$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + 0$

चरण 2.2.4.2

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 840 x^{3}$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ है.

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$

चरण 3.2

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ में से $- 30 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 30 x^{4}$ में से $- 30 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$- 30 x^{3} x + 840 x^{3} = 0$

चरण 3.2.2

$840 x^{3}$ में से $- 30 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 28 = 0$

चरण 3.2.3

$- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 28)$ में से $- 30 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$- 30 x^{3} (x - 28) = 0$

चरण 3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{3} = 0$

$x - 28 = 0$

चरण 3.4

$x^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$x^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} = 0$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $x^{3} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \sqrt[3]{0}$

चरण 3.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 3.4.2.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 3.5

$x - 28$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x - 28$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 28 = 0$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $28$ जोड़ें.

$x = 28$

चरण 3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 30 x^{3} (x - 28) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 28$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = - {(0)}^{6} + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = - 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

चरण 4.1.2.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

चरण 4.1.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 42 \cdot 0 - 42 \cdot 0 + 19$

चरण 4.1.2.1.4

$42$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 - 42 \cdot 0 + 19$

चरण 4.1.2.1.5

$- 42$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 19$

चरण 4.1.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 0 + 19$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 19$

चरण 4.1.2.2.3

$0$ और $19$ जोड़ें.

$f (0) = 19$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $19$ है.

$19$

चरण 4.2

$0$ को $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, 19)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, 19)$

चरण 4.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $28$ को $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $28$ से बदलें.

$f (28) = - {(28)}^{6} + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

चरण 4.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$28$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (28) = - 1 \cdot 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1$ को $481890304$ से गुणा करें.

$f (28) = - 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

चरण 4.3.2.1.3

$28$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (28) = - 481890304 + 42 \cdot 17210368 - 42 \cdot 28 + 19$

चरण 4.3.2.1.4

$42$ को $17210368$ से गुणा करें.

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 42 \cdot 28 + 19$

चरण 4.3.2.1.5

$- 42$ को $28$ से गुणा करें.

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 1176 + 19$

चरण 4.3.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

$- 481890304$ और $722835456$ जोड़ें.

$f (28) = 240945152 - 1176 + 19$

चरण 4.3.2.2.2

$240945152$ में से $1176$ घटाएं.

$f (28) = 240943976 + 19$

चरण 4.3.2.2.3

$240943976$ और $19$ जोड़ें.

$f (28) = 240943995$

चरण 4.3.2.3

अंतिम उत्तर $240943995$ है.

$240943995$

चरण 4.4

$28$ को $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(28, 240943995)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(28, 240943995)$

चरण 4.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(0, 19), (28, 240943995)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 28) \cup (28, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.1$ से बदलें.

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 840 {(- 0.1)}^{3}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 0.1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

चरण 6.2.1.2

$- 30$ को $0.0001$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

चरण 6.2.1.3

$- 0.1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 \cdot - 0.001$

चरण 6.2.1.4

$840$ को $- 0.001$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.84$

चरण 6.2.2

$- 0.003$ में से $0.84$ घटाएं.

$f'' (- 0.1) = - 0.843$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.843$ है.

$- 0.843$

चरण 6.3

$- 0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.843$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, 0)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, 28)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $14$ से बदलें.

$f'' (14) = - 30 {(14)}^{4} + 840 {(14)}^{3}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$14$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (14) = - 30 \cdot 38416 + 840 {(14)}^{3}$

चरण 7.2.1.2

$- 30$ को $38416$ से गुणा करें.

$f'' (14) = - 1152480 + 840 {(14)}^{3}$

चरण 7.2.1.3

$14$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (14) = - 1152480 + 840 \cdot 2744$

चरण 7.2.1.4

$840$ को $2744$ से गुणा करें.

$f'' (14) = - 1152480 + 2304960$

चरण 7.2.2

$- 1152480$ और $2304960$ जोड़ें.

$f'' (14) = 1152480$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $1152480$ है.

$1152480$

चरण 7.3

$14$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $1152480$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, 28)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, 28)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(28, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $28.1$ से बदलें.

$f'' (28.1) = - 30 {(28.1)}^{4} + 840 {(28.1)}^{3}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$28.1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (28.1) = - 30 \cdot 623483.9521 + 840 {(28.1)}^{3}$

चरण 8.2.1.2

$- 30$ को $623483.9521$ से गुणा करें.

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 {(28.1)}^{3}$

चरण 8.2.1.3

$28.1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 \cdot 22188.041$

चरण 8.2.1.4

$840$ को $22188.041$ से गुणा करें.

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 18637954.44$

चरण 8.2.2

$- 18704518.563$ और $18637954.44$ जोड़ें.

$f'' (28.1) = - 66564.123$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $- 66564.123$ है.

$- 66564.123$

चरण 8.3

$28.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 66564.123$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(28, \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(28, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 9

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को प्लस से माइनस या माइनस से प्लस में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(0, 19), (28, 240943995)$ हैं.

$(0, 19), (28, 240943995)$

चरण 10