कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- 2}^{- 1} 2 x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{- 2}^{- 1} x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 4 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 4 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$4 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 2.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = 4 - x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 - {(- 2)}^{2}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = 4 - 1 \cdot 4$

चरण 2.3.1.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 4 - 4$

चरण 2.3.2

$4$ में से $4$ घटाएं.

$u_{lower} = 0$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = 4 - x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 4 - {(- 1)}^{2}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

घातांक जोड़कर $- 1$ को ${(- 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1.1

$- 1$ को ${(- 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1.1.1

$- 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

चरण 2.5.1.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1 + 2}$

चरण 2.5.1.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{3}$

चरण 2.5.1.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 4 - 1$

चरण 2.5.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = 3$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 3.2

$u^{3}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 \int_{0}^{3} - \frac{u^{3}}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u)$

चरण 5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

चरण 7.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

चरण 7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

चरण 7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

चरण 7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

चरण 7.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \int_{0}^{3} u^{3} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{3})$

चरण 9

$\frac{1}{4}$ और $u^{4}$ को मिलाएं.

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{3})$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$3$ पर और $0$ पर $\frac{u^{4}}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

चरण 10.2.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4})$

चरण 10.2.3

$0$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$0$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

चरण 10.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

चरण 10.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

चरण 10.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1})$

चरण 10.2.3.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- (\frac{81}{4} - 0)$

चरण 10.2.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- (\frac{81}{4} + 0)$

चरण 10.2.5

$\frac{81}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{81}{4}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{81}{4}$

दशमलव रूप:

$- 20.25$

मिश्रित संख्या रूप:

$- 20 \frac{1}{4}$

चरण 12