कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin^{3} (x) \cos^{5} (x) d x$

चरण 1

$\cos^{4} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\int \sin^{3} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

चरण 2

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \sin^{3} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

चरण 2.2

${\cos (x)}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\int \sin^{3} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

चरण 3

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cos^{2} (x)$ को $1 - \sin^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \sin^{3} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u^{3} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

चरण 5

$u^{3} {(1 - u^{2})}^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ को $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int u^{3} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u^{3} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

चरण 5.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

चरण 5.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

चरण 5.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

चरण 5.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

चरण 5.8

$u^{3}$ ले जाएं.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

चरण 5.9

कोष्ठक ले जाएँ.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

चरण 5.10

$u^{3}$ ले जाएं.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

चरण 5.11

$u^{2}$ ले जाएं.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

चरण 5.12

कोष्ठक ले जाएँ.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

चरण 5.13

$u^{3}$ ले जाएं.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

चरण 5.14

$u^{2}$ ले जाएं.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

चरण 5.15

कोष्ठक ले जाएँ.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

चरण 5.16

कोष्ठक ले जाएँ.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.17

$u^{3}$ ले जाएं.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.18

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.19

$u^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.20

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u^{3} - u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.21

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\int u^{3} - (u^{3} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.22

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{3} - u^{3 + 2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.23

$3$ और $2$ जोड़ें.

$\int u^{3} - u^{5} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.24

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.25

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\int u^{3} - u^{5} - (u^{3} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.26

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{3 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.27

$3$ और $2$ जोड़ें.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.28

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.29

$u^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.30

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

चरण 5.31

$3$ और $2$ जोड़ें.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

चरण 5.32

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{5 + 2} d u$

चरण 5.33

$5$ और $2$ जोड़ें.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{7} d u$

चरण 5.34

$- u^{5}$ में से $u^{5}$ घटाएं.

$\int u^{3} - 2 u^{5} + u^{7} d u$

चरण 5.35

$- 2 u^{5}$ और $u^{7}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int u^{3} + u^{7} - 2 u^{5} d u$

चरण 5.36

$u^{3}$ ले जाएं.

$\int u^{7} - 2 u^{5} + u^{3} d u$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{7} d u + \int - 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{7}$ का समाकलन $\frac{1}{8} u^{8}$ है.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int - 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

चरण 8

चूँकि $- 2$ बटे $u$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{5}$ का समाकलन $\frac{1}{6} u^{6}$ है.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{6}$ और $u^{6}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

चरण 11.2

सरल करें.

$\frac{u^{8}}{8} - \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$\frac{\sin^{8} (x)}{8} - \frac{\sin^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{8} \sin^{8} (x) - \frac{1}{3} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$