कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} y^{2} - x y = 8$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (8)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y^{2} - x y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y^{2}$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.2.5

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.2.6

$2$ को $y^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x y]$ है.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y \cdot 1)$

चरण 2.3.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y)$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y') - y$

चरण 2.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - x y' - y$

चरण 3

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - x y' - y = 0$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y^{2} x$ घटाएं.

$2 x^{2} y y' - x y' - y = - 2 y^{2} x$

चरण 5.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ें.

$2 x^{2} y y' - x y' = - 2 y^{2} x + y$

चरण 5.2

$2 x^{2} y y' - x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2 x^{2} y y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (2 x y) - x y' = - 2 y^{2} x + y$

चरण 5.2.2

$- x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (2 x y) + x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x + y$

चरण 5.2.3

$x y' (2 x y) + x y' \cdot - 1$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$

चरण 5.3

$x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$ के प्रत्येक पद को $x (2 x y - 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$ के प्रत्येक पद को $x (2 x y - 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{x y' (2 x y - 1)}{x (2 x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y' (2 x y - 1)}{x (2 x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (2 x y - 1)}{2 x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.2.2

$2 x y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (2 x y - 1)}{2 x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 2 y^{2}}{2 x y - 1} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.2

$- \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $(2 x y - 1) x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1

$\frac{2 y^{2}}{2 x y - 1}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{(2 x y - 1) x} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.3.2

$(2 x y - 1) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x + y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.5

$- 2 y^{2} x + y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1

$- 2 y^{2} x$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.5.2

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y^{1}}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.5.3

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y \cdot 1}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.5.4

$y (- 2 y x) + y \cdot 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- 2 y x + 1)}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.6

$- 2 y x + 1$ और $2 x y - 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.6.1

$- 2 y x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- (2 y x) + 1)}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.6.2

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{y (- (2 y x) - 1 (- 1))}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.6.3

$- (2 y x) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- (2 y x - 1))}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.6.4

$- (2 y x - 1)$ को $- 1 (2 y x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{y (- 1 (2 y x - 1))}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.6.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y' = \frac{y (- 1 (2 x y - 1))}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.6.6

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x y - 1))}{x (2 x y - 1)}$

चरण 5.3.3.6.7

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

चरण 5.3.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.7.1

$- 1$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

चरण 5.3.3.7.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y}{x}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$