कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)}$

चरण 1

न्यूमेरेटर और भाजक को $2 x$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \cdot (2 x)}{\sin (2 x) \cdot (2 x)}$

चरण 2

न्यूमेरेटर और भाजक को $5 x$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \cdot (2 x) \cdot (5 x)}{5 x \cdot \sin (2 x) \cdot (2 x)}$

चरण 3

अलग-अलग भिन्न

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x} \cdot \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot \frac{5 x}{2 x}$

चरण 4

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, $\frac{\sin (5 x)}{5 x}$ की सीमा $1$ होती है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.1.2.1.2

$5$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.3.1

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.1.2.3.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

$5$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.1.3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{5 \cdot 0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.1.3.3

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

चरण 5.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.3.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.3.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.3.5

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.3.6

$5$ को $\cos (5 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.3.7

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.3.8

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \cdot 1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.3.9

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.4.1.2

$\cos (5 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to 0} \cos (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.4.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\cos (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.4.3

$5$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.5

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\cos (5 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 5.6.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ की सीमा $1$ होती है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$1 \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$1 \cdot \frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.2.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.3.1.2

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.3.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.3.3.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.3.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

चरण 6.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.3.3

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.3.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.3.5.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.3.5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.3.6

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.3.7

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.3.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.3.9

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{2 \cos (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{2 \cos (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.5

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ को $\sec (2 x)$ में बदलें.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

सीमा को त्रिकोणमितीय फलन के अंदर ले जाएँ क्योंकि कोटिज्या सतत है.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.6.2

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$1 \cdot \sec (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.7

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$1 \cdot \sec (2 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 6.8.2

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 7

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{2 x}$

चरण 7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5}{2}$

चरण 8

$\frac{5}{2}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{2}$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 \cdot \frac{5}{2}$

चरण 9.2

$\frac{5}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{5}{2}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{5}{2}$

दशमलव रूप:

$2.5$