कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{7} x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 4 x^{2} + 9$ .फिर $d u = 8 x d x$ , तो $\frac{1}{8} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 4 x^{2} + 9$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$4 x^{2} + 9$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$8 x + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 x + 0$

चरण 1.1.4.2

$8 x$ और $0$ जोड़ें.

$8 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 4 x^{2} + 9$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 \cdot 1^{2} + 9$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{lower} = 4 \cdot 1 + 9$

चरण 1.3.1.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 4 + 9$

चरण 1.3.2

$4$ और $9$ जोड़ें.

$u_{lower} = 13$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 4 x^{2} + 9$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 4 \cdot 7^{2} + 9$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 4 \cdot 49 + 9$

चरण 1.5.1.2

$4$ को $49$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 196 + 9$

चरण 1.5.2

$196$ और $9$ जोड़ें.

$u_{upper} = 205$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 13$

$u_{upper} = 205$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{13}^{205} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$\int_{13}^{205} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} \sqrt{u} d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{13}^{205}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$205$ पर और $13$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 205^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\frac{2}{3}$ और $205^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.2

$13^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

चरण 6.2.3

$2$ को $13^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 7.2

जोड़ना.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 7.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

चरण 7.3.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

चरण 7.3.3

$- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

चरण 7.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

चरण 7.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

चरण 7.4

$\frac{1}{4}$ को $\frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3}$

चरण 7.5

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

चरण 7.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

$1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

चरण 7.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.1

$8 \cdot 3$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

चरण 7.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

चरण 7.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 \cdot (205^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

चरण 7.6.3

$205^{\frac{3}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

चरण 7.6.4

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

चरण 7.6.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

दशमलव रूप:

$240.69009594 \dots$

चरण 9