कैलकुलस उदाहरण

$y = {(x + 3)}^{2} e^{4 x}$

चरण 1

${(x + 3)}^{2}$ को $(x + 3) (x + 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) e^{4 x}]$

चरण 2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 3) (x + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 3) + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

चरण 2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

चरण 2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

चरण 3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

चरण 3.1.2

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

चरण 3.1.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 x + 3 x + 9) e^{4 x}]$

चरण 3.2

$3 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}]$

चरण 4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ और $g (x) = e^{4 x}$ है.

$(x^{2} + 6 x + 9) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$(x^{2} + 6 x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

चरण 5.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

चरण 5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

चरण 6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

चरण 6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

चरण 6.3.2

$4$ को $(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 \cdot ((x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

चरण 6.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 6 x + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 6.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 6.6

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 6.7

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 6.8

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 6.9

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + 0)$

चरण 6.10

$2 x + 6$ और $0$ जोड़ें.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

चरण 7.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$6$ को $4$ से गुणा करें.

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

चरण 7.4.2

$4$ को $9$ से गुणा करें.

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

चरण 7.4.3

$6$ को $e^{4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + 6 \cdot e^{4 x}$

चरण 7.4.4

$24 x e^{4 x}$ और $e^{4 x} (2 x)$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.4.1

$e^{4 x}$ ले जाएं.

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 2 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

चरण 7.4.4.2

$24 x e^{4 x}$ और $2 x e^{4 x}$ जोड़ें.

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

चरण 7.4.5

$36 e^{4 x}$ और $6 e^{4 x}$ जोड़ें.

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

चरण 7.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$

चरण 7.6

गुणनखंडों को $4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$ में पुन: क्रमित करें.

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$