कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + \cos (t)$ .फिर $d u = - \sin (t) d t$ , तो $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 1 + \cos (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$1 + \cos (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + \cos (t)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ है.

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

चरण 1.1.3

$t$ के संबंध में $\cos (t)$ का व्युत्पन्न $- \sin (t)$ है.

$0 - \sin (t)$

चरण 1.1.4

$0$ में से $\sin (t)$ घटाएं.

$- \sin (t)$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

चरण 2

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \sqrt{u} d u$

चरण 3

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 5

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ को $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + \cos (t)$ से बदलें.

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$