कैलकुलस उदाहरण

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

$\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ को ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

चरण 1.2

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ है.

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ और $g (x) = 4 x^{4} + 4$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 x^{4} + 4$ के रूप में सेट करें.

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{4}$ है.

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x^{4} + 4$ से बदलें.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 6.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 6.2

$1$ में से $4$ घटाएं.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 8

$\frac{1}{4}$ और ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ को मिलाएं.

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 10

$\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ और $16$ को मिलाएं.

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

चरण 11

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

चरण 12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 12.1

$4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

चरण 12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

चरण 12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

चरण 13

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{4} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 14

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{4}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 16

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 17

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

चरण 18

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 18.1

$16 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

चरण 18.2

$16$ और $\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ को मिलाएं.

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

चरण 18.3

$16$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

चरण 18.4

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$