कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + 7 x$ .फिर $d u = 7 d x$ , तो $\frac{1}{7} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 1 + 7 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + 7 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 7 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 7 \cdot 1$

चरण 1.1.3.3

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 7$

चरण 1.1.4

$0$ और $7$ जोड़ें.

$7$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 1 + 7 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$7$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 1.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 1 + 7 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 1 + 7$

चरण 1.5.2

$1$ और $7$ जोड़ें.

$u_{upper} = 8$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

चरण 2

$\sqrt[3]{u}$ और $\frac{1}{7}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{7}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{7}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

चरण 4

$\sqrt[3]{u}$ को $u^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ है.

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$8$ पर और $1$ पर $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.4

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.5

$\frac{3}{4}$ और $16$ को मिलाएं.

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.6

$3$ को $16$ से गुणा करें.

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.7

$48$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.1

$48$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.7.2.4

$12$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.2.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

चरण 6.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

चरण 6.2.10

$12$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

चरण 6.2.11

$12$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

चरण 6.2.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

चरण 6.2.13

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.13.1

$12$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

चरण 6.2.13.2

$48$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

चरण 6.2.14

$\frac{1}{7}$ को $\frac{45}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

चरण 6.2.15

$7$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{45}{28}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{45}{28}$

दशमलव रूप:

$1.60714285 \dots$

मिश्रित संख्या रूप:

$1 \frac{17}{28}$

चरण 8