कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - 3 | x |$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 | x |$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$ है.

$- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$- 3 \frac{x}{| x |}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 3$ और $\frac{x}{| x |}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3 x}{| x |}$

चरण 1.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 x}{| x |}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{3 x}{| x |}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{| x |}]$ है.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{x}{| x |}$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = | x |$ है.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.3.2

$| x |$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.4

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.5

$\frac{x}{| x |}$ और $x$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.10

$- 3$ और $\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 3 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{3 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{3 | x | + 3 (- \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.2.1

$3 (- \frac{x^{2}}{| x |})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.2.1.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{3 | x | - 3 \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.2.1.2

$- 3$ और $\frac{x^{2}}{| x |}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{3 | x | + \frac{- 3 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{3 | x | - \frac{3 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.3.1

$3 | x | - \frac{3 x^{2}}{| x |}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.3.1.1

$3 | x |$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{3 (| x |) - \frac{3 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.1.2

$- \frac{3 x^{2}}{| x |}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{3 (| x |) + 3 (- \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.1.3

$3 (| x |) + 3 (- \frac{x^{2}}{| x |})$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{3 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.2

$| x |$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{| x |}{| x |}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.3.4.1

$| x | | x |$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.3.4.1.1

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.4.1.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.4.1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.4.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.4.1.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.4.2

निरपेक्ष मान से गैर-ऋणात्मक शब्द हटा दें.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.4.3

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{0}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.3.5

$0$ को $| x |$ से विभाजित करें.

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot 0}{{| x |}^{2}}$

चरण 2.12.4

${| x |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot 0}{x^{2}}$

चरण 2.12.5

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

चरण 2.12.6

$0$ को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$f'' (x) = - 0$

चरण 2.12.7

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \frac{3 x}{| x |} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$- 3 \frac{x}{| x |}$

चरण 4.1.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$- 3$ और $\frac{x}{| x |}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3 x}{| x |}$

चरण 4.1.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{3 x}{| x |}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{3 x}{| x |}$ है.

$- \frac{3 x}{| x |}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{3 x}{| x |} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{3 x}{| x |} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$3 x = 0$

चरण 5.3

$3 x = 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$3 x = 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

चरण 5.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{3}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 5.4

उन हलों को छोड़ दें जो $- \frac{3 x}{| x |} = 0$ को सत्य नहीं बनाते हैं.

$कोई हल नहीं$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{3 x}{| x |}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$| x | = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$x = \pm 0$

चरण 6.2.2

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 0$

चरण 8

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$0$

चरण 9

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 9.2

पहले व्युत्पन्न $- \frac{3 x}{| x |}$ में अंतराल $(- \infty, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = - \frac{3 (- 2)}{| - 2 |}$

चरण 9.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = - \frac{- 6}{| - 2 |}$

चरण 9.2.2.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $- 2$ और $0$ के बीच की दूरी $2$ है.

$f' (- 2) = - \frac{- 6}{2}$

चरण 9.2.2.3

$- 6$ को $2$ से विभाजित करें.

$f' (- 2) = 3$

चरण 9.2.2.4

अंतिम उत्तर $3$ है.

$3$

चरण 9.3

पहले व्युत्पन्न $- \frac{3 x}{| x |}$ में अंतराल $(0, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = - \frac{3 (2)}{| 2 |}$

चरण 9.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = - \frac{6}{| 2 |}$

चरण 9.3.2.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$f' (2) = - \frac{6}{2}$

चरण 9.3.2.3

$6$ को $2$ से विभाजित करें.

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

चरण 9.3.2.4

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 3$

चरण 9.3.2.5

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$- 3$

चरण 9.4

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = 0$ के लगभग बदल दिया, तो $x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 10