कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ on $2$ , $7$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

चरण 1.1.1.2.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

चरण 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चूंकि $- 27$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 27 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$6 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

चरण 1.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x]$

चरण 1.1.1.3.3

$2$ को $- 27$ से गुणा करें.

$6 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [108 x]$

चरण 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [108 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.4.1

चूंकि $108$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $108 x$ का व्युत्पन्न $108 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 x^{2} - 54 x + 108 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 x^{2} - 54 x + 108 \cdot 1$

चरण 1.1.1.4.3

$108$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} - 54 x + 108$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x^{2} - 54 x + 108$ है.

$6 x^{2} - 54 x + 108$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$6 x^{2} - 54 x + 108$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

$6 x^{2}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) - 54 x + 108 = 0$

चरण 1.2.2.1.2

$- 54 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) + 6 (- 9 x) + 108 = 0$

चरण 1.2.2.1.3

$108$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 x^{2} + 6 (- 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

चरण 1.2.2.1.4

$6 x^{2} + 6 (- 9 x)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

चरण 1.2.2.1.5

$6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

चरण 1.2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 9 x + 18$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $18$ है और जिसका योग $- 9$ है.

$- 6, - 3$

चरण 1.2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$6 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

चरण 1.2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$6 (x - 6) (x - 3) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 1.2.4

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 6 = 0$

चरण 1.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x = 6$

चरण 1.2.5

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 1.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 (x - 6) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 6, 3$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 6$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$6$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 {(6)}^{3} - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.1

$6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 216 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

चरण 1.4.1.2.1.2

$2$ को $216$ से गुणा करें.

$432 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

चरण 1.4.1.2.1.3

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$432 - 27 \cdot 36 + 108 (6)$

चरण 1.4.1.2.1.4

$- 27$ को $36$ से गुणा करें.

$432 - 972 + 108 (6)$

चरण 1.4.1.2.1.5

$108$ को $6$ से गुणा करें.

$432 - 972 + 648$

चरण 1.4.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

$432$ में से $972$ घटाएं.

$- 540 + 648$

चरण 1.4.1.2.2.2

$- 540$ और $648$ जोड़ें.

$108$

चरण 1.4.2

$x = 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 {(3)}^{3} - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 27 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

चरण 1.4.2.2.1.2

$2$ को $27$ से गुणा करें.

$54 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

चरण 1.4.2.2.1.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$54 - 27 \cdot 9 + 108 (3)$

चरण 1.4.2.2.1.4

$- 27$ को $9$ से गुणा करें.

$54 - 243 + 108 (3)$

चरण 1.4.2.2.1.5

$108$ को $3$ से गुणा करें.

$54 - 243 + 324$

चरण 1.4.2.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.2.1

$54$ में से $243$ घटाएं.

$- 189 + 324$

चरण 1.4.2.2.2.2

$- 189$ और $324$ जोड़ें.

$135$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(6, 108), (3, 135)$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

घातांक जोड़कर $2$ को ${(2)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1.1

$2$ को ${(2)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2^{1} {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

चरण 2.1.2.1.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2^{1 + 3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

चरण 2.1.2.1.1.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$2^{4} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

चरण 2.1.2.1.2

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

चरण 2.1.2.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 - 27 \cdot 4 + 108 (2)$

चरण 2.1.2.1.4

$- 27$ को $4$ से गुणा करें.

$16 - 108 + 108 (2)$

चरण 2.1.2.1.5

$108$ को $2$ से गुणा करें.

$16 - 108 + 216$

चरण 2.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

$16$ में से $108$ घटाएं.

$- 92 + 216$

चरण 2.1.2.2.2

$- 92$ और $216$ जोड़ें.

$124$

चरण 2.2

$x = 7$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$7$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 {(7)}^{3} - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$7$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 343 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

चरण 2.2.2.1.2

$2$ को $343$ से गुणा करें.

$686 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

चरण 2.2.2.1.3

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$686 - 27 \cdot 49 + 108 (7)$

चरण 2.2.2.1.4

$- 27$ को $49$ से गुणा करें.

$686 - 1323 + 108 (7)$

चरण 2.2.2.1.5

$108$ को $7$ से गुणा करें.

$686 - 1323 + 756$

चरण 2.2.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$686$ में से $1323$ घटाएं.

$- 637 + 756$

चरण 2.2.2.2.2

$- 637$ और $756$ जोड़ें.

$119$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(2, 124), (7, 119)$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(3, 135)$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(6, 108)$

चरण 4