कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ ; $[- 7, 9]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sqrt[3]{x - 1}) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{x - 1}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

$\sqrt[3]{x - 1}$ को ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.8

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.10.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.10.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.12

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.13

$\frac{1}{3}$ और ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.14

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.15

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.2.16

$2$ और $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 1.1.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

चरण 1.1.1.3.2

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ है.

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 = 0$

चरण 1.2.3

$2 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

चरण 1.3.2

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

चरण 1.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 1.3.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

$\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ को ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 1.3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.2.1

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.2.1.1

उत्पाद नियम को $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ पर लागू करें.

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 1.3.3.2.2.1.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 1.3.3.2.2.1.3

घातांक को ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.2.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 1.3.3.2.2.1.3.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.2.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 1.3.3.2.2.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

चरण 1.3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 1.3.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.3.1

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $27$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.3.1.1

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $27$ से विभाजित करें.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

चरण 1.3.3.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.3.1.2.1

$27$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

चरण 1.3.3.3.1.2.1.2

${(x - 1)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

चरण 1.3.3.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.3.1.3.1

$0$ को $27$ से विभाजित करें.

${(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 1.3.3.3.2

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 1.3.3.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 \sqrt[3]{(1) - 1} + 3$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$2 \sqrt[3]{0} + 3$

चरण 1.4.1.2.1.2

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \sqrt[3]{0^{3}} + 3$

चरण 1.4.1.2.1.3

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$2 \cdot 0 + 3$

चरण 1.4.1.2.1.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 3$

चरण 1.4.1.2.2

$0$ और $3$ जोड़ें.

$3$

चरण 1.4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(1, 3)$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = - 7$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 7$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 \sqrt[3]{(- 7) - 1} + 3$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

$- 7$ में से $1$ घटाएं.

$2 \sqrt[3]{- 8} + 3$

चरण 2.1.2.1.2

$- 8$ को ${(- 2)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + 3$

चरण 2.1.2.1.3

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$2 \cdot - 2 + 3$

चरण 2.1.2.1.4

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 4 + 3$

चरण 2.1.2.2

$- 4$ और $3$ जोड़ें.

$- 1$

चरण 2.2

$x = 9$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$9$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 \sqrt[3]{(9) - 1} + 3$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$9$ में से $1$ घटाएं.

$2 \sqrt[3]{8} + 3$

चरण 2.2.2.1.2

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \sqrt[3]{2^{3}} + 3$

चरण 2.2.2.1.3

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$2 \cdot 2 + 3$

चरण 2.2.2.1.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 + 3$

चरण 2.2.2.2

$4$ और $3$ जोड़ें.

$7$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 7, - 1), (9, 7)$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(9, 7)$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(- 7, - 1)$

चरण 4