कैलकुलस उदाहरण

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = t^{2}$ और $g (t) = t - 8$ है.

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.2

$2$ को $t - 8$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ है.

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.5

चूंकि $t$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.1.1

घातांक जोड़कर $t$ को $t$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.1.1.1

$t$ ले जाएं.

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.1.1.2

$t$ को $t$ से गुणा करें.

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.1.2

$2$ को $- 8$ से गुणा करें.

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.2

$2 t^{2}$ में से $t^{2}$ घटाएं.

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.4

$t^{2} - 16 t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.4.1

$t^{2}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.4.2

$- 16 t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.4.3

$t \cdot t + t \cdot - 16$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.1.2

$f (t)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $t$ , $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ है.

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$t (t - 16) = 0$

चरण 1.2.3

$t$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$t = 0$

$t - 16 = 0$

चरण 1.2.3.2

$t$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$t = 0$

चरण 1.2.3.3

$t - 16$ को $0$ के बराबर सेट करें और $t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$t - 16$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$t - 16 = 0$

चरण 1.2.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $16$ जोड़ें.

$t = 16$

चरण 1.2.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $t (t - 16) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$t = 0, 16$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(t - 8)}^{2} = 0$

चरण 1.3.2

$t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$t - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$t - 8 = 0$

चरण 1.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$t = 8$

चरण 1.4

प्रत्येक $t$ मान पर $\frac{t^{2}}{t - 8}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$t = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$0$ को $t$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{0 - 8}$

चरण 1.4.1.2.2

$0$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{0}{- 8}$

चरण 1.4.1.2.3

$0$ को $- 8$ से विभाजित करें.

$0$

चरण 1.4.2

$t = 16$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$16$ को $t$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$16$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{256}{16 - 8}$

चरण 1.4.2.2.2

$16$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{256}{8}$

चरण 1.4.2.2.3

$256$ को $8$ से विभाजित करें.

$32$

चरण 1.4.3

$t = 8$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$8$ को $t$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

चरण 1.4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

$8$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

चरण 1.4.3.2.2

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 1.4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 0), (16, 32)$

चरण 2

उन बिंदुओं को हटा दें जो अंतराल पर नहीं हैं.

चरण 3

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$t = - 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 2$ को $t$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

चरण 3.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4}{- 2 - 8}$

चरण 3.1.2.1.2

$- 2$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{4}{- 10}$

चरण 3.1.2.2

$4$ और $- 10$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2)}{- 10}$

चरण 3.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.2.1

$- 10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

चरण 3.1.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

चरण 3.1.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{- 5}$

चरण 3.1.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{5}$

चरण 3.2

$t = - \frac{1}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- \frac{1}{4}$ को $t$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

चरण 3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{4}$ पर लागू करें.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

चरण 3.2.2.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

चरण 3.2.2.1.3

उत्पाद नियम को $\frac{1}{4}$ पर लागू करें.

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

चरण 3.2.2.1.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

चरण 3.2.2.1.5

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

चरण 3.2.2.1.6

$\frac{1}{16}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

चरण 3.2.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$- 8$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

चरण 3.2.2.2.2

$- 8$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

चरण 3.2.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

चरण 3.2.2.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.4.1

$- 8$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

चरण 3.2.2.2.4.2

$- 1$ में से $32$ घटाएं.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

चरण 3.2.2.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

चरण 3.2.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

चरण 3.2.2.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.4.1

$- \frac{4}{33}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

चरण 3.2.2.4.2

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

चरण 3.2.2.4.3

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

चरण 3.2.2.4.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

चरण 3.2.2.4.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

चरण 3.2.2.5

$\frac{1}{4}$ को $\frac{- 1}{33}$ से गुणा करें.

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

चरण 3.2.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.6.1

$4$ को $33$ से गुणा करें.

$\frac{- 1}{132}$

चरण 3.2.2.6.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{132}$

चरण 3.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

चरण 4

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $t$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (t)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (t)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (t)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(- 2, - \frac{2}{5})$

चरण 5