कैलकुलस उदाहरण

$F (θ) = \sin (θ + \frac{π}{2})$ , $0 \leq θ \leq \frac{7 π}{4}$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \sin (θ)$ और $g (θ) = θ + \frac{π}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $θ + \frac{π}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

चरण 1.1.1.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

चरण 1.1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $θ + \frac{π}{2}$ से बदलें.

$\cos (θ + \frac{π}{2}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $θ$ के संबंध में $θ + \frac{π}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}]$ है.

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}])$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}])$

चरण 1.1.1.2.3

चूंकि $θ$ के संबंध में $\frac{π}{2}$ स्थिर है, $θ$ के संबंध में $\frac{π}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

चरण 1.1.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\cos (θ + \frac{π}{2}) \cdot 1$

चरण 1.1.1.2.4.2

$\cos (θ + \frac{π}{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (θ) = \cos (θ + \frac{π}{2})$

चरण 1.1.2

$F (θ)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $θ$ , $\cos (θ + \frac{π}{2})$ है.

$\cos (θ + \frac{π}{2})$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\cos (θ + \frac{π}{2}) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (θ + \frac{π}{2}) = 0$

चरण 1.2.2

कोज्या के अंदर से $θ$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$θ + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

चरण 1.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$θ + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 1.2.4

$θ$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{π}{2}$ घटाएं.

$θ = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$θ = \frac{π - π}{2}$

चरण 1.2.4.3

$π$ में से $π$ घटाएं.

$θ = \frac{0}{2}$

चरण 1.2.4.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$θ = 0$

चरण 1.2.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$θ + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.6

$θ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$θ + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.6.1.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$θ + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.6.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$θ + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 1.2.6.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$θ + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 1.2.6.1.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$θ + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

चरण 1.2.6.2

$θ$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{π}{2}$ घटाएं.

$θ = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$θ = \frac{3 π - π}{2}$

चरण 1.2.6.2.3

$3 π$ में से $π$ घटाएं.

$θ = \frac{2 π}{2}$

चरण 1.2.6.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$θ = \frac{2 π}{2}$

चरण 1.2.6.2.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$θ = π$

चरण 1.2.7

$\cos (θ + \frac{π}{2})$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 1.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 1.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 1.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 1.2.8

$\cos (θ + \frac{π}{2})$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.2.9

उत्तरों को समेकित करें.

$θ = π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $θ$ मान पर $\sin (θ + \frac{π}{2})$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$θ = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$0$ को $θ$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin ((0) + \frac{π}{2})$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$0$ और $\frac{π}{2}$ जोड़ें.

$\sin (\frac{π}{2})$

चरण 1.4.1.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$1$

चरण 1.4.2

$θ = π$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$π$ को $θ$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin ((π) + \frac{π}{2})$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

चरण 1.4.2.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.2.1

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

चरण 1.4.2.2.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

चरण 1.4.2.2.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.3.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

चरण 1.4.2.2.3.2

$2 π$ और $π$ जोड़ें.

$\sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 1.4.2.2.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- \sin (\frac{π}{2})$

चरण 1.4.2.2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 1.4.2.2.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1)$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2

उन बिंदुओं को हटा दें जो अंतराल पर नहीं हैं.

$(0, 1), (π, - 1)$

चरण 3

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$θ = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$0$ को $θ$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin ((0) + \frac{π}{2})$

चरण 3.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$0$ और $\frac{π}{2}$ जोड़ें.

$\sin (\frac{π}{2})$

चरण 3.1.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$1$

चरण 3.2

$θ = \frac{7 π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{7 π}{4}$ को $θ$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{2})$

चरण 3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$\frac{π}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2})$

चरण 3.2.2.2

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2})$

चरण 3.2.2.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4})$

चरण 3.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{4})$

चरण 3.2.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.4.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{4})$

चरण 3.2.2.4.2

$7 π$ और $2 π$ जोड़ें.

$\sin (\frac{9 π}{4})$

चरण 3.2.2.5

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$\sin (\frac{π}{4})$

चरण 3.2.2.6

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 3.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 4

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $θ$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $F (θ)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $F (θ)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $F (θ)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(0, 1)$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(π, - 1)$

चरण 5