कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x {(x - 4)}^{2}$ ; $[0, 4]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

${(x - 4)}^{2}$ को $(x - 4) (x - 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x ((x - 4) (x - 4))]$

चरण 1.1.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 4) (x - 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 4) - 4 (x - 4))]$

चरण 1.1.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]$

चरण 1.1.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

चरण 1.1.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

चरण 1.1.1.3.1.2

$- 4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

चरण 1.1.1.3.1.3

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]$

चरण 1.1.1.3.2

$- 4 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 8 x + 16)]$

चरण 1.1.1.4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} - 8 x + 16$ है.

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16] + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.1.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 8 x + 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ है.

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.1.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.1.5.3

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.1.5.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.1.5.5

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$x (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.1.5.6

चूंकि $x$ के संबंध में $16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.1.5.7

$2 x - 8$ और $0$ जोड़ें.

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.1.5.8

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \cdot 1$

चरण 1.1.1.5.9

$x^{2} - 8 x + 16$ को $1$ से गुणा करें.

$x (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 16$

चरण 1.1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (2 x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

चरण 1.1.1.6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

चरण 1.1.1.6.2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

चरण 1.1.1.6.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

चरण 1.1.1.6.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 x^{2} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

चरण 1.1.1.6.2.5

$- 8$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x^{2} - 8 \cdot x + x^{2} - 8 x + 16$

चरण 1.1.1.6.2.6

$2 x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

चरण 1.1.1.6.2.7

$- 8 x$ में से $8 x$ घटाएं.

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 16$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $3 x^{2} - 16 x + 16$ है.

$3 x^{2} - 16 x + 16$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

चरण 1.2.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ है और जिसका योग $b = - 16$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

$- 16 x$ में से $- 16$ का गुणनखंड करें.

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

चरण 1.2.2.1.2

$- 16$ को $- 4$ जोड़ $- 12$ के रूप में फिर से लिखें

$3 x^{2} + (- 4 - 12) x + 16 = 0$

चरण 1.2.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x^{2} - 4 x - 12 x + 16 = 0$

चरण 1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16 = 0$

चरण 1.2.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4) = 0$

चरण 1.2.2.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x - 4$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(3 x - 4) (x - 4) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$3 x - 4 = 0$

$x - 4 = 0$

चरण 1.2.4

$3 x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$3 x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x - 4 = 0$

चरण 1.2.4.2

$x$ के लिए $3 x - 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$3 x = 4$

चरण 1.2.4.2.2

$3 x = 4$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.1

$3 x = 4$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

चरण 1.2.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

चरण 1.2.4.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{4}{3}$

चरण 1.2.5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 1.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(3 x - 4) (x - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{4}{3}, 4$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $x {(x - 4)}^{2}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = \frac{4}{3}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$\frac{4}{3}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(\frac{4}{3}) {((\frac{4}{3}) - 4)}^{2}$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$- 4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

चरण 1.4.1.2.2

$- 4$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

चरण 1.4.1.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

चरण 1.4.1.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.4.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 12}{3})}^{2}$

चरण 1.4.1.2.4.2

$4$ में से $12$ घटाएं.

$\frac{4}{3} {(\frac{- 8}{3})}^{2}$

चरण 1.4.1.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4}{3} {(- \frac{8}{3})}^{2}$

चरण 1.4.1.2.6

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.6.1

उत्पाद नियम को $- \frac{8}{3}$ पर लागू करें.

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{8}{3})}^{2})$

चरण 1.4.1.2.6.2

उत्पाद नियम को $\frac{8}{3}$ पर लागू करें.

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{8^{2}}{3^{2}})$

चरण 1.4.1.2.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.7.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4}{3} (1 \frac{8^{2}}{3^{2}})$

चरण 1.4.1.2.7.2

$\frac{8^{2}}{3^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{8^{2}}{3^{2}}$

चरण 1.4.1.2.8

जोड़ना.

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

चरण 1.4.1.2.9

घातांक जोड़कर $3$ को $3^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.9.1

$3$ को $3^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.9.1.1

$3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

चरण 1.4.1.2.9.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1 + 2}}$

चरण 1.4.1.2.9.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

चरण 1.4.1.2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.10.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2^{2} \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

चरण 1.4.1.2.10.2

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}}{3^{3}}$

चरण 1.4.1.2.10.3

घातांक को ${(2^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.10.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}}{3^{3}}$

चरण 1.4.1.2.10.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2^{2} \cdot 2^{6}}{3^{3}}$

चरण 1.4.1.2.10.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2^{2 + 6}}{3^{3}}$

चरण 1.4.1.2.10.5

$2$ और $6$ जोड़ें.

$\frac{2^{8}}{3^{3}}$

चरण 1.4.1.2.11

घातांकों का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.11.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2^{8}}{27}$

चरण 1.4.1.2.11.2

$2$ को $8$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{256}{27}$

चरण 1.4.2

$x = 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$4$ में से $4$ घटाएं.

$4 \cdot 0^{2}$

चरण 1.4.2.2.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$4 \cdot 0$

चरण 1.4.2.2.3

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$0$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(\frac{4}{3}, \frac{256}{27}), (4, 0)$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(0) {((0) - 4)}^{2}$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$0$ में से $4$ घटाएं.

$0 {(- 4)}^{2}$

चरण 2.1.2.2

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$0 \cdot 16$

चरण 2.1.2.3

$0$ को $16$ से गुणा करें.

$0$

चरण 2.2

$x = 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$4$ में से $4$ घटाएं.

$4 \cdot 0^{2}$

चरण 2.2.2.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$4 \cdot 0$

चरण 2.2.2.3

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$0$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 0), (4, 0)$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(\frac{4}{3}, \frac{256}{27})$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(0, 0), (4, 0)$

चरण 4