कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ on $- 4$ , $0$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

चरण 1.1.1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2

$x^{2} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.8

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.9

$4$ और $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.10.2.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.10.2.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ है.

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$- 4 x^{2} = - 4$

चरण 1.2.3.2

$- 4 x^{2} = - 4$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$- 4 x^{2} = - 4$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

चरण 1.2.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

चरण 1.2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

चरण 1.2.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.3.1

$- 4$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 1$

चरण 1.2.3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{1}$

चरण 1.2.3.4

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm 1$

चरण 1.2.3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 1$

चरण 1.2.3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 1$

चरण 1.2.3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 1, - 1$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{1^{2} + 1}$

चरण 1.4.1.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{4}{1 + 1}$

चरण 1.4.1.2.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{4}{2}$

चरण 1.4.1.2.3

$4$ को $2$ से विभाजित करें.

$2$

चरण 1.4.2

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

चरण 1.4.2.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 4}{1 + 1}$

चरण 1.4.2.2.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 4}{2}$

चरण 1.4.2.2.3

$- 4$ को $2$ से विभाजित करें.

$- 2$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

चरण 2

उन बिंदुओं को हटा दें जो अंतराल पर नहीं हैं.

$(- 1, - 2)$

चरण 3

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x = - 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 1}$

चरण 3.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{- 16}{{(- 4)}^{2} + 1}$

चरण 3.1.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 16}{16 + 1}$

चरण 3.1.2.2.2

$16$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 16}{17}$

चरण 3.1.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{16}{17}$

चरण 3.2

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 (0)}{{(0)}^{2} + 1}$

चरण 3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0}{0^{2} + 1}$

चरण 3.2.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{0 + 1}$

चरण 3.2.2.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{0}{1}$

चरण 3.2.2.3

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$0$

चरण 3.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 4, - \frac{16}{17}), (0, 0)$

चरण 4

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(0, 0)$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(- 1, - 2)$

चरण 5