कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1 + x}{1 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{2})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = \frac{1}{2}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x$ और $g (x) = 1 + e^{x}$ है.

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(1 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.5

$1 + e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.8

$0$ और $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ जोड़ें.

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.3.1.2

$- 1 e^{x}$ को $- e^{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.3.2

$1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

$e^{x}$ में से $e^{x}$ घटाएं.

$\frac{1 + 0 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.3.2.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- e^{x} x + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.5

$- e^{x} x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (e^{x} x) + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.6

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.7

$- (e^{x} x) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.8

$- (e^{x} x - 1)$ को $- 1 (e^{x} x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.10

गुणनखंडों को $- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{x e^{x} - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.5

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{0 \cdot 1 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.2

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{0 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.3

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{- 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{- 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

चरण 1.6.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{- 1}{2^{2}}$

चरण 1.6.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{- 1}{4}$

चरण 1.6.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{1}{4}$

चरण 1.6.4

$- - \frac{1}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{4})$

चरण 1.6.4.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{4}$ और दिए गए बिंदु $(0, \frac{1}{2})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x$

चरण 2.3.1.2

$\frac{1}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{2}$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

चरण 3