कैलकुलस उदाहरण

$g (x) = 3 e^{- 5 x}$ at the point $(0, 3)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = 3$ पर मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 e^{- 5 x}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 5 x$ है.

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चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 5 x$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

चरण 1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 5 x$ से बदलें.

$3 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

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चरण 1.3.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.2

$- 5$ को $3$ से गुणा करें.

$- 15 e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 15 e^{- 5 x} \cdot 1$

चरण 1.3.4

$- 15$ को $1$ से गुणा करें.

$- 15 e^{- 5 x}$

चरण 1.4

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- 15 e^{- 5 \cdot 0}$

चरण 1.5

सरल करें.

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चरण 1.5.1

$- 5$ को $0$ से गुणा करें.

$- 15 e^{0}$

चरण 1.5.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- 15 \cdot 1$

चरण 1.5.3

$- 15$ को $1$ से गुणा करें.

$- 15$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

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चरण 2.1

ढलान $- 15$ और दिए गए बिंदु $(0, 3)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (3) = - 15 \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 3 = - 15 \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

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चरण 2.3.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - 3 = - 15 x$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$y = - 15 x + 3$

चरण 3