कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{3 x + 16}$ , $(3, 5)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 3$ और $y = 5$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{3 x + 16}$ को ${(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 3 x + 16$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x + 16$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 16$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(3 x + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(3 x + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(3 x + 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(3 x + 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(3 x + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(3 x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(3 x + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 16]$

चरण 1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [16]$ है.

$\frac{1}{2 {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [16])$

चरण 1.9

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

चरण 1.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

चरण 1.11

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [16])$

चरण 1.12

चूंकि $x$ के संबंध में $16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0)$

चरण 1.13

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

चरण 1.13.2

$\frac{1}{2 {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2 {(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.14

$x = 3$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2 {(3 (3) + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.1.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2 {(9 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.15.1.2

$9$ और $16$ जोड़ें.

$\frac{3}{2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.15.1.3

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3}{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.15.1.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.15.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.15.1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{2 \cdot 5^{1}}$

चरण 1.15.1.6

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2 \cdot 5}$

चरण 1.15.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{3}{10}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{3}{10}$ और दिए गए बिंदु $(3, 5)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (5) = \frac{3}{10} \cdot (x - (3))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 5 = \frac{3}{10} \cdot (x - 3)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{3}{10} \cdot (x - 3)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{3}{10} \cdot (x - 3)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 5 = \frac{3}{10} \cdot (x - 3)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 5 = \frac{3}{10} x + \frac{3}{10} \cdot - 3$

चरण 2.3.1.4

$\frac{3}{10}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - 5 = \frac{3 x}{10} + \frac{3}{10} \cdot - 3$

चरण 2.3.1.5

$\frac{3}{10} \cdot - 3$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$\frac{3}{10}$ और $- 3$ को मिलाएं.

$y - 5 = \frac{3 x}{10} + \frac{3 \cdot - 3}{10}$

चरण 2.3.1.5.2

$3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y - 5 = \frac{3 x}{10} + \frac{- 9}{10}$

चरण 2.3.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - 5 = \frac{3 x}{10} - \frac{9}{10}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$y = \frac{3 x}{10} - \frac{9}{10} + 5$

चरण 2.3.2.2

$5$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{10}{10}$ से गुणा करें.

$y = \frac{3 x}{10} - \frac{9}{10} + 5 \cdot \frac{10}{10}$

चरण 2.3.2.3

$5$ और $\frac{10}{10}$ को मिलाएं.

$y = \frac{3 x}{10} - \frac{9}{10} + \frac{5 \cdot 10}{10}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{3 x}{10} + \frac{- 9 + 5 \cdot 10}{10}$

चरण 2.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.5.1

$5$ को $10$ से गुणा करें.

$y = \frac{3 x}{10} + \frac{- 9 + 50}{10}$

चरण 2.3.2.5.2

$- 9$ और $50$ जोड़ें.

$y = \frac{3 x}{10} + \frac{41}{10}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{3}{10} x + \frac{41}{10}$

चरण 3