कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = \frac{1}{3}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x + 3$ है.

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.3.4.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.4.2

$3 e^{x}$ में से $e^{x}$ घटाएं.

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.4.4

$e^{x} x + 2 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

$e^{x} x$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.4.4.2

$2 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.4.4.3

$e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 1.5

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

$0$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

चरण 1.6.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

चरण 1.6.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

चरण 1.6.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.1

$0$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{2}{3^{2}}$

चरण 1.6.2.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{9}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{2}{9}$ और दिए गए बिंदु $(0, \frac{1}{3})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

चरण 2.3.1.2

$\frac{2}{9}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{3}$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

चरण 3