कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ , $(2, 2)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 2$ और $y = 2$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ को ${(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ और $g (x) = 2 x^{3} + 8 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x^{3} + 8 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{5}$ है.

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x^{3} + 8 x$ से बदलें.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.4

$- 1$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.6.2

$1$ में से $5$ घटाएं.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.7.2

$\frac{1}{5}$ और ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

चरण 1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{3} + 8 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ है.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

चरण 1.9

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

चरण 1.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x])$

चरण 1.11

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

चरण 1.12

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \cdot 1)$

चरण 1.14

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$

चरण 1.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.1

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(6 x^{2} + 8) \frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.15.2

$6 x^{2} + 8$ को $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{2} + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.15.3

$6 x^{2} + 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.3.1

$6 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.15.3.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.15.3.3

$2 (3 x^{2}) + 2 (4)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 x^{2} + 4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.16

$x = 2$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2 {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.1

घातांक जोड़कर $2$ को ${(2)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.1.1

$2$ को ${(2)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.1.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1} {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1 + 3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17.1.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (3 \cdot 4 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17.2.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 (12 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17.2.3

$12$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.3.1.1

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17.3.1.2

$8$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 16)}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17.3.2

$16$ और $16$ जोड़ें.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17.3.3

$32$ को $2^{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

चरण 1.17.3.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

चरण 1.17.3.5

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.3.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

चरण 1.17.3.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{4}}$

चरण 1.17.3.6

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 16}$

चरण 1.17.4

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.4.1

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$\frac{32}{5 \cdot 16}$

चरण 1.17.4.2

$5$ को $16$ से गुणा करें.

$\frac{32}{80}$

चरण 1.17.4.3

$32$ और $80$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.4.3.1

$32$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\frac{16 (2)}{80}$

चरण 1.17.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.4.3.2.1

$80$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

चरण 1.17.4.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

चरण 1.17.4.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{5}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{2}{5}$ और दिए गए बिंदु $(2, 2)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (2) = \frac{2}{5} \cdot (x - (2))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{2}{5} \cdot (x - 2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 2 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

चरण 2.3.1.4

$\frac{2}{5}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

चरण 2.3.1.5

$\frac{2}{5} \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$\frac{2}{5}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

चरण 2.3.1.5.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

चरण 2.3.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2$

चरण 2.3.2.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

चरण 2.3.2.3

$2$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}$

चरण 2.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.5.1

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 10}{5}$

चरण 2.3.2.5.2

$- 4$ और $10$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{6}{5}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{2}{5} x + \frac{6}{5}$

चरण 3