कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2} + 4$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{2} + 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 1.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${\sqrt{u - 4}}^{2}$ को $u - 4$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sqrt{u - 4}$ को ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{{(u - 4)}^{1}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.5

सरल करें.

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.2

$\frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

चरण 2.3

$2$ को $u^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{u - 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$u^{\frac{3}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.2

घातांक को ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$\frac{3}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

चरण 4.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

चरण 4.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5

$(u - 4) u^{- \frac{3}{2}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 5.6

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

चरण 9

चूँकि $- 4$ बटे $u$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 \int u^{- \frac{3}{2}} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{3}{2}}$ का समाकलन $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C))$

चरण 11

सरल करें.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 4$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

चरण 13.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.1

$2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.1.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.1.3

$2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.2

घातांक जोड़कर ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.2.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.2.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{1} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.3

${(x^{2} + 4)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 4 + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.3.4

$4$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.4

जोड़ना.

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.5

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.6

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13.7

$x^{2} + 8$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$