कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$

चरण 1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

चरण 3

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

चरण 3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 5.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 5.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 5.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (4 (x^{2} + 1) x) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 6

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 6.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 6.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 7

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x)}{x^{4}}$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{3} (4 x^{2} + 4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

चरण 9.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{4 x^{3} x^{2} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.2

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$\frac{4 (x^{2} x^{3}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 x^{2 + 3} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.2.3

$2$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{5} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{5} + x^{3} \cdot 4 - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.4

$4$ को $x^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot x^{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.5

${(x^{2} + 1)}^{2}$ को $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.6

FOIL विधि का उपयोग करके $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.7

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.7.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.7.1.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.7.1.1.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.7.1.2

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.7.1.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.7.1.4

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.7.2

$x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.9.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.9.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.10

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.11.1

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.11.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.11.1.2

$x$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.11.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.11.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.11.1.3

$1$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.11.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.11.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.11.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.11.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.11.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.1.11.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.2

$4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$4 x^{3}$ में से $4 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} + 0 - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.2.2

$4 x^{5} - 2 x^{5}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.3.3

$4 x^{5}$ में से $2 x^{5}$ घटाएं.

$\frac{2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

$2 x^{5} - 2 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1.1

$2 x^{5}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x (x^{4}) - 2 x}{2 x^{4}}$

चरण 9.4.1.2

$- 2 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)}{2 x^{4}}$

चरण 9.4.1.3

$2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x (x^{4} - 1)}{2 x^{4}}$

चरण 9.4.2

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1)}{2 x^{4}}$

चरण 9.4.3

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}{2 x^{4}}$

चरण 9.4.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x^{2}$ और $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{2 x^{4}}$

चरण 9.4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.5.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{2 x^{4}}$

चरण 9.4.5.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{2 x^{4}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

चरण 9.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

चरण 9.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)}{x^{4}}$

चरण 9.6

$x$ और $x^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1

$((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x^{4}}$

चरण 9.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.2.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 9.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 9.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1)}{x^{3}}$

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{3}}$