कैलकुलस उदाहरण

$\int 4 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

चरण 1

चूँकि $4$ बटे $θ$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = \sin (θ)$ .फिर $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ , तो $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = \sin (θ)$ . $\frac{d u_{1}}{d θ}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sin (θ)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

चरण 2.1.2

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\cos (θ)$ है.

$\cos (θ)$

चरण 2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 3

$\cos^{4} (u_{1})$ का गुणनखंड करें.

$4 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$4 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4.2

${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$4 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 5

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cos^{2} (u_{1})$ को $1 - \sin^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = \sin (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , तो $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = \sin (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\sin (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

चरण 6.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1})$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

चरण 7

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ को $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

चरण 7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

चरण 7.5

${u_{2}}^{2}$ ले जाएं.

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

चरण 7.6

${u_{2}}^{2}$ ले जाएं.

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 7.7

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 7.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 7.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 7.10

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 7.11

${u_{2}}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 7.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

चरण 7.13

$2$ और $2$ जोड़ें.

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

चरण 7.14

$- {u_{2}}^{2}$ में से ${u_{2}}^{2}$ घटाएं.

$4 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

चरण 7.15

$- 2 {u_{2}}^{2}$ और ${u_{2}}^{4}$ को पुन: क्रमित करें.

$4 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 7.16

$1$ ले जाएं.

$4 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$4 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ है.

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

चरण 10

चूँकि $- 2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

चरण 12

स्थिरांक नियम लागू करें.

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

चरण 13

सरल करें.

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चरण 13.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$\frac{1}{3}$ और ${u_{2}}^{3}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

चरण 13.1.2

$\frac{1}{5}$ और ${u_{2}}^{5}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

चरण 13.2

सरल करें.

$4 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (u_{1})$ से बदलें.

$4 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

चरण 14.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (θ)$ से बदलें.

$4 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

चरण 15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$