कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{{(x^{3} + 4)}^{5}}{3 x^{4} - 2}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = {(x^{3} + 4)}^{5}$ और $g (x) = 3 x^{4} - 2$ है.

$\frac{(3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4)}^{5}] - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = x^{3} + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{3} + 4$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(3 x^{4} - 2) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$\frac{(3 x^{4} - 2) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} + 4$ से बदलें.

$\frac{(3 x^{4} - 2) (5 {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$5$ को $3 x^{4} - 2$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{5 \cdot (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2} + 0) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2}) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.5.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{4} - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.7

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{4}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.9

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3} + 0)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.1

$12 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3})}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 3.11.2

$12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(15 (3 x^{4}) + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$(15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}$ में से ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$(15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ में से ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.1.2

$- 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}$ में से ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) + {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (- 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.1.3

${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) + {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (- 12 (x^{3} + 4) x)$ में से ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.2

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$15$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} + 15 \cdot - 2 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.2.2

$15$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 + (- 12 x^{3} - 12 \cdot 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.3.2

$- 12$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 + (- 12 x^{3} - 48) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{3} x - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.3.4

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x \cdot x^{3}) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.3.4.2

$x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x^{1} x^{3}) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.3.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{1 + 3} - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.3.4.3

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{4} - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.4

$45 x^{4}$ में से $12 x^{4}$ घटाएं.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (33 x^{4} - 30 - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.5

$33 x^{4} - 30 - 48 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

$33 x^{4}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) - 30 - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.5.2

$- 30$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) + 3 (- 10) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.5.3

$- 48 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) + 3 (- 10) + 3 (- 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.5.4

$3 (11 x^{4}) + 3 (- 10)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4} - 10) + 3 (- 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.5.5

$3 (11 x^{4} - 10) + 3 (- 16 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4} - 10 - 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.2.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} \cdot 3 (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.3

$3$ को ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

चरण 4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{4} (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$